Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 8)

Đáp án

\(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{\rm{ln}}2}}\).

Giải thích

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right){\rm{ln}}2}} \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{\rm{ln}}2}}\).

Đáp án

\(\left[ {20;40} \right)\).

Giải thích

Ta có \(n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42\).

Gọi \({x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{42}}\) là thời gian chơi thể thao của 42 học sinh và sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó trung vị là \(\frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}\). Do hai giá trị đều thuộc nhóm \(\left[ {40;60} \right)\) nên số trung vị thuộc nhóm này. Suy ra tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) là \({x_{11}}\). Do \({x_{11}}\) thuộc nhóm \(\left[ {20;40} \right)\) nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm này.

Đáp án

\(MN \bot BD\).

Giải thích

\(\Delta NAB\) cân tại \(N\) nên \(MN \bot AB\).

\(\Delta MCD\) cân tại \(M\) nên \(MN \bot CD\).

\(CD \bot \left( {ABN} \right) \Rightarrow CD \bot AB\).

Đáp án

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Giải thích

"Có vô số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước."

Đáp án

80.

Giải thích

Ta có: \(\left( {{3^{2x + 1}} + {{2.3}^x} - 1} \right)\left( {{3^x} - y} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ {3.{{\left( {{3^x}} \right)}^2} + {{2.3}^x} - 1} \right]\left( {{3^x} - y} \right) \le 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{3^x} + 1} \right)\left( {{{3.3}^x} - 1} \right)\left( {{3^x} - y} \right) \le 0 \Leftrightarrow \left( {{3^{x + 1}} - 1} \right)\left( {{3^x} - y} \right) \le 0\) (do \({3^x} + 1 > 0,\forall x\)).

TH1. \({3^{x + 1}} - 1 \le 0 \Rightarrow x + 1 \le 0 \Leftrightarrow x \le - 1\) ta có \({3^x} - y \ge 0 \Rightarrow y \le {3^x} \le {3^{ - 1}} = \frac{1}{3}\) (vô lý vì \(y\) là số nguyên dương).

TH2. \({3^{x + 1}} - 1 \ge 0 \Rightarrow x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1\) ta có \({3^x} - y \le 0 \Rightarrow y \ge {3^x} \ge {3^{ - 1}} = \frac{1}{3}\) (luôn đúng vì \(y\) là số nguyên dương).

Để ứng với mỗi số \(y\) có không quá 5 số nguyên \(x\) thỏa mãn bất phương trình nên nghiệm \(x\) chỉ nằm trong khoảng \(\left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\} \Rightarrow y < {3^4} = 81\).

Vậy có 80 số nguyên dương \(y\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Đáp án

\({u_n} = {2^n}\).

Giải thích

Lập tỉ số \(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\) nếu tỉ số này không đổi thì \(\left\{ {{u_n}} \right\}\) là cấp số nhân.

+) Xét \({u_n} = {( - 1)^n}n\)

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{( - 1)}^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)}}{{{{( - 1)}^n}.n}} = - \frac{{n + 1}}{n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) không phải cấp số nhân.

+) Xét \({u_n} = {n^2}\)

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{(n + 1)}^2}}}{{{n^2}}} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

+) Xét \({u_n} = {2^n}\)

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} = 2{u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân có công bội bằng 2.

+) Xét \({u_n} = \frac{n}{{{3^n}}}\)

\(\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{n + 1}}{{3n}} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) không phải là cấp số nhân.

Đáp án

\(P = 0,88\).

Giải thích

Gọi \({A_1}\) "Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất";

       \({A_2}\) "Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai".

Khi đó. \(P\left( {{A_1}} \right) = 0,6 \Rightarrow P\left( {\overline {{A_1}} } \right) = 0,4\) và \(P\left( {{A_2}} \right) = 0,7 \Rightarrow P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = 0,3\)

Gọi \(X\) là biến cố "Trong hai sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt".

Suy ra \(X = {A_1}{A_2}\), mặt khác do hai biến cố độc lập nên \(\overline {{A_1}} ,\overline {{A_2}} \) độc lập.

\(P\left( {\overline X } \right) = P\left( {\overline {{A_1}} } \right).P\left( {\overline {{A_2}} } \right) = 0,12 \Rightarrow P\left( X \right) = 1 - P\left( {\overline X } \right) = 0,88\).