Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 11)

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \), khảo sát hàm \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \) để tìm khoảng giá trị

của \(t\) theo \(x\) và biến đổi hàm số ban đầu theo \(m\) và khảo sát.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x} \) thì

  \[t' = \frac{{x - 2}}{{\sqrt {{x^2} - 4x} }} < 0\quad \forall x \in ( - 4;0)\]

suy ra \(t\) nghịch biến trên \(( - 4;0)\), do đó

  \[t \in (0;4\sqrt 2 )\]

Khi đó bài toán trở thành tìm \(m\) nguyên dương để hàm số

  \[g(t) = \frac{{{t^2} + 3t + m + 2}}{{t + 2}}\]

đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 )\).

Ta có:

  \[g'(t) = \frac{{{t^2} + 4t + 4 - m}}{{{{(t + 2)}^2}}}\]

Cho \(g'(t) = 0\):

  \[{t^2} + 4t + 4 - m = 0 \Leftrightarrow {(t + 2)^2} = m\]

Do \(m > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

  \[t = - 2 \pm \sqrt m \]

Suy ra hàm số \(g(t)\) đồng biến trên:

  \[( - \infty ; - 2 - \sqrt m ) \cup ( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\]

Để \(g(t)\) đồng biến trên \((0;4\sqrt 2 )\) thì:

  \[(0;4\sqrt 2 ) \subset ( - 2 + \sqrt m ; + \infty )\]

  \[ \Rightarrow - 2 + \sqrt m < 0 \Leftrightarrow \sqrt m < 2\]

  \[ \Rightarrow m < 4\]

Kết luận. Số giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn là 4

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Hàm số nghịch biến khi \(y' < 0.\) Với tham số, thường đặt ẩn phụ để đưa về dạng đone giản rồi xét dấu đạo hàm.

·        Đếm số giá trị nguyên dương thỏa điều kiện bằng cách giải bất phương trình đạo hàm \( < \;0\) trên khoảng cho trước.

Giải chi tiết:

  \[y' = {(\tan x)^\prime } - {(\cot x)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\]

  \[ = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\]

  \[ = \frac{4}{{{{(2\sin x\cos x)}^2}}} = \frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}\]
Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Quy tắc đạo hàm:

Giải chi tiết:

Trong mặt phẳng \((ABC)\), kẻ \(AH \bot BC\), \(H \in BC\).

Do \(SA \bot (ABC)\) nên \(SA \bot BC\).

Suy ra \(BC \bot (SAH)\).

Mà \(BC \subset (SBC)\) nên

  \[(SAH) \bot (SBC) \Rightarrow d(A,(SBC)) = AK\]

với \(AK \bot SH\).

Xét tam giác ABC vuông tại \(A\):

  \[AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = 2a\]

  \[A{H^2} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{4}{a^2}\]

Xét tam giác vuông SAH tại \(A\):

  \[A{K^2} = S{A^2} + A{H^2} = 9{a^2} + \frac{5}{4}{a^2} = \frac{{49}}{{36}}{a^2}\]

  \[ \Rightarrow AK = \frac{{6a}}{7}\]

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Khoảng cách từ điểm \(M\left( {{x_0},{y_0},{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( {Ax + By + Cz + D = 0} \right):\)

  \(d = \frac{{\left| {A{x_0}{\rm{ + }}B{y_0}{\rm{ + }}C{z_0}{\rm{ + }}D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

• Với hình chóp, thường phải dựng đường vuông góc từ điểm đến mặt phẳng rồi áp dụng công thức khoảng cách.

Giải chi tiết:

Do \((S)\) tiếp xúc với \((P)\) tại \(H\) nên \(H\) là hình chiếu của \(I\) lên \((P)\).

Đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \((P)\) có dạng:

  \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = - 2 + 3t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\]

Vì \(H \in (P)\) nên:

  \[2(1 + 2t) + 3(3t - 2) + (1 + t) - 11 = 0 \Rightarrow t = 1\]

  \[ \Rightarrow H(3,1,2)\]

  \[T = 3 + 1 + 2 = 6\]
Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Mặt cầu tiếp xúc mặt phẳng tại điểm \(P\) có tâm nằm trên đường thẳng qua \(P\) và vuông góc với mặt phẳng.

·         Xác định tâm bằng cách lấy hình chiếu lên trục cho trước, sau đó tính bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến điểm tiếp xúc.

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình mũ bằng cách xét hàm đặc trưng theo \(y\), sử dụng tính đơn điệu.

Giải chi tiết:

Điều kiện xác định:

  \[{x^2} - y > 0 \Leftrightarrow y < {x^2}\]

Xét bất phương trình tương đương:

  \[{e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln ({x^2} - y) > 0\]

Đặt

  \[f(y) = {e^{2y}} + 4{x^2}y - {y^2} + x - \ln ({x^2} - y)\quad {\rm{tr\^e n }}( - \infty ,{x^2})\]

Ta có:

  \[f'(y) = 2{e^{2y}} + 4{x^2} - 2y + \frac{1}{{{x^2} - y}} > 0\]

nên \(f(y)\) đồng biến trên \(( - \infty ,{x^2})\).

Suy ra:

  \[f(y) > 0 \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(0) < y < {x^2}\]

Để tồn tại duy nhất một giá trị nguyên \(y\), cần:

  \[{x^2} - 1 < {f^{ - 1}}(0) < {x^2}\]

Tương đương:

  \[f({x^2} - 1) < 0\]

  \[ \Leftrightarrow {e^{2({x^2} - 1)}} + 4{x^2}({x^2} - 1) - {({x^2} - 1)^2} + x - \ln 1 < 0\]

  \[ \Leftrightarrow {e^{2({x^2} - 1)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1 < 0\]

Xét hàm:

  \[g(x) = {e^{2({x^2} - 1)}} + 3{x^4} - 2{x^2} + x - 1\]

Phương trình \(g(x) = 0\) có không quá hai nghiệm, bất phương trình \(g(x) < 0\) chỉ nhận

  \[x = 0\]

Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của \(x\).

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Bất phương trình mũ → đặt ẩn phụ, xét tính đơn điệu của hàm để tìm nghiệm.

·        Điều kiện xác định trước, sau đó xét hàm đồng biến/nghịch biến để suy ra số nghiệm nguyên thỏa mãn.

Giải chi tiết:

Vì \({e^\pi } < 1\) nên:

  \[{({e^\pi })^x} > 1 \Leftrightarrow {\log _{{e^\pi }}}{({e^\pi })^x} < {\log _{{e^\pi }}}1\]

  \[ \Leftrightarrow x < 0\]

Vậy tập nghiệm là:

  \[( - \infty ,0)\]

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Giải bất phương trình chứa căn → bình phương hai vế, xét điều kiện xác định.
• Luôn kiểm tra điều kiện của căn trước, sau đó giải bất phương trình để tìm tập nghiệm chính xác.

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, ứng dụng định lý Viet

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm với trục hoành:

  \[{x^3} - 3{x^2} - ({m^2} - 2)x + {m^2} = 0\]

  \[ \Leftrightarrow (x - 1)({x^2} - 2x - {m^2}) = 0\]

  \[ \Rightarrow x = 1,\quad x = 1 \pm \sqrt {1 + {m^2}} \]

Suy ra:

  \[AC = 2\sqrt {1 + {m^2}} \]

Ta có:

  \[y' = 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2\]

  \[y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - {m^2} + 2 = 0\]

Áp dụng Vi-et:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} = \frac{{2 - {m^2}}}{3}}\end{array}} \right.\]

Tính được:

  \[M{N^2} = \frac{4}{3}(1 + {m^2}) + \frac{{16}}{{27}}{(1 + {m^2})^3}\]

Điều kiện \(MN = AC\):

  \[\frac{4}{3}(1 + {m^2}) + \frac{{16}}{{27}}{(1 + {m^2})^3} = 4(1 + {m^2})\]

  \[ \Leftrightarrow {(1 + {m^2})^2} = \frac{9}{2}\]

  \[ \Rightarrow m =  \pm \sqrt {\frac{3}{2} - 1} \]

Có 2 giá trị của \(m\).

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm phân biệt → dùng định lý Viét để liên hệ nghiệm.

o   Tổng nghiệm: \({x_1} + {x_2} + {x_3} =  - \frac{b}{a}\)

o   Tổng tích đôi một: \({x_1}{x_2} + {x_2}{x_3} + {x_3}{x_1} = \frac{c}{a}\)

o   Tích nghiệm:  \({x_1}{x_2}{x_3} =  - \frac{d}{a}\)

·        Xét điều kiện có 2 cực trị → kiểm tra số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm, từ đó tìm số giá trị tham số.