Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 8)

Phương pháp giải

Xác định dấu dựa trên các đặc điểm của đồ thị hàm số.

Giải chi tiết

Từ đồ thị ta có các nhận xét sau:

Đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới nên \(a < 0\).

  Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(c < 0\).

  Hoành độ đỉnh của đồ thị là

                                       \[{x_{{\rm{dinh}}}} = \frac{{ - b}}{{2a}}.\]

Quan sát hình vẽ, đỉnh nằm bên phải trục tung nên \({x_{dinh}} > 0\).

Vì \(a < 0\) nên suy ra \( - b < 0 \Leftrightarrow b > 0.\).

Vậy \(a < 0,\;b > 0,\;c < 0\).

Đáp án: B

Giải chi tiết:

Tâm đường tròn \((C)\) là \(I(3;4)\), bán kính \(R = 5\).

Vì \(d\) là tiếp tuyến của \((C)\) nên:

                                                              \[d(I,d) = R\]

           \[\frac{{|4 \cdot 3 + a \cdot 4 + b|}}{{\sqrt {{4^2} + {a^2}} }} = 5.\]

Do \(M \in d \Rightarrow 4.( - 4) + a.3 + b = 0 \Leftrightarrow 3{\rm{a}} + b = 16.\)

Thay \(b = - 3a + 16\) vào:

                            \[\frac{{|12 + 4a - 3a + 16|}}{{\sqrt {16 + {a^2}} }} = 5\]

                                    \[\frac{{|28 + a|}}{{\sqrt {16 + {a^2}} }} = 5.\]

Bình phương hai vế:

                                               \[{(28 + a)^2} = 25(16 + {a^2})\]

                                          \[{a^2} + 56a + 784 = 400 + 25{a^2}\]

                                                    \[24{a^2} - 56a - 384 = 0\]

  \[3{a^2} - 7a - 48 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 3}\\{a = \frac{{16}}{3}}\end{array}} \right.\]

Do \(a < 0\) nên chọn \(a = - 3\).

Khi đó:

                                                    \[b = - 3( - 3) + 16 = 25.\]

Vậy:

                                              \[T = ab = ( - 3) \cdot 25 = - 75.\]

Phương pháp giải: Sử dụng phương pháp tính theo định nghĩa xác suất cổ điển.

Giải chi tiết

\[1 \le a,b,c \le 6.\]

Không gian mẫu có số phần tử:

                                                 \[n(\Omega ) = {6^3} = 216.\]

Xét các bộ \((a,b,c)\) sao cho:

                                                               \[abc = 36.\]

Liệt kê các trường hợp thỏa mãn:

 \(a = 1 \Rightarrow bc = 36 \Rightarrow (b,c) = (6,6)\).

 \(a = 2 \Rightarrow bc = 18 \Rightarrow (b,c) = (3,6),(6,3)\).

 \(a = 3 \Rightarrow bc = 12 \Rightarrow (b,c) = (2,6),(3,4),(4,3),(6,2)\).

 \(a = 4 \Rightarrow bc = 9 \Rightarrow (b,c) = (3,3)\).

 \(a = 6 \Rightarrow bc = 6 \Rightarrow (b,c) = (1,6),(2,3),(3,2),(6,1)\).

Tổng cộng có 12 trường hợp thuận lợi.

Vậy xác suất cần tìm là:

                       \[P = \frac{{12}}{{216}} = \frac{1}{{18}} \approx 5,6\% .\]

Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất vectơ trong hình bình hành.

Giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành có tâm \(O\) nên \(O\) là trung điểm của đường chéo AC, do đó:

                              \[\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OC} .\]

Suy ra:

      \[\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {DO} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {DC} .\]

Vậy đẳng thức đúng là:

      \[\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {DO} = \overrightarrow {DC} .\]

Phương pháp giải: Kiểm tra từng điểm xem có thỏa mãn tất cả các bất phương trình xác định miền \((D)\) hay không.

Giải chi tiết:

Một điểm nằm trong miền đa giác \((D)\) phải thỏa mãn đồng thời bốn bất phương trình đã cho.

Xét điểm \(C(4;2)\), ta có:

                                      \[2x + 3y = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 2 = 14 > 10.\]

Do đó \(C(4;2)\) không thỏa mãn bất phương trình \(2x + 3y \le 10\).

Vì vậy, điểm \(C(4;2)\)không nằm trong miền đa giác \((D)\).

Phương pháp giải: Sử dụng điều kiện để phương trình dạng \[a\sin x + b\cos x = c\]có nghiệm.

Giải chi tiết:

Bước 1. Điều kiện xác định

Phương trình có nghĩa khi: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 1,}\\{m > 0,}\\{{{\log }_3}\frac{m}{{81}} \ge 0.}\end{array}} \right.\]

Từ đó suy ra: \[\frac{m}{{81}} \ge 1 \Leftrightarrow m \ge 81.\]

Bước 2. Điều kiện có nghiệm

Phương trình

     \[\frac{{\sqrt 5 }}{{2{{\log }_m}3}}\cos 3x + {\log _m}m\sin 3x = \sqrt {{{\log }_3}\frac{m}{{27}}} \]

có nghiệm khi và chỉ khi:

              \[\frac{5}{4}{\left( {\frac{1}{{{{\log }_m}3}}} \right)^2} + {({\log _m}m)^2} \ge {\log _3}\frac{m}{{27}}.\]

Ta có:

                \[{\log _m}3 = \frac{1}{{{{\log }_3}m}},\quad {\log _m}m = 1.\]

Suy ra:

                               \[\frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} + 1 \ge {\log _3}m - 3\]

     \[ \Leftrightarrow \frac{5}{4}{({\log _3}m)^2} - {\log _3}m + 4 \ge 0\]

               \[ \Leftrightarrow \frac{5}{4}{\left( {{{\log }_3}m - \frac{2}{5}} \right)^2} + \frac{{19}}{5} \ge 0.\]

Bất đẳng thức này luôn đúng với mọi \(m\) thỏa điều kiện xác định.

Bước 3. Đếm nghiệm

Kết hợp với điều kiện \(m \ge 81\) và \(m < 100\), ta có:

                                                 \[m \in \{ 81,82, \ldots ,99\} .\]

Số giá trị nguyên dương của \(m\) là:

                                                         \[99 - 81 + 1 = 19.\]

Vậy có 19 số nguyên dương \(m\) thỏa mãn bài toán.

Phương pháp giải:

Từ công thức truy hồi, biến đổi để tìm công thức tổng quát của dãy số.

Giải chi tiết:

Ta biến đổi công thức truy hồi:

                                        \[{u_{n + 1}} = 3{u_n} - 6n + {2^n} + 3\]

\[ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3(n + 1) + {2^{n + 1}} = 3{u_n} - 9n + 3 \cdot {2^n}\]

   \[ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 3(n + 1) + {2^{n + 1}} = 3({u_n} - 3n + {2^n}).\]

Đặt

                    \[{v_n} = {u_n} - 3n + {2^n}\quad (n \in {\mathbb{N}^*}),\]

khi đó ta có:

          \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = {u_1} - 3 + 2 = 4 - 3 + 2 = 3,}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}.}\end{array}} \right.\]

Suy ra:

                                  \[{v_n} = {3^n}\quad (n \in {\mathbb{N}^*}).\]

Do đó:

                                                \[{u_n} = {3^n} - {2^n} + 3n.\]

Xét \({u_{2024}}\):

                           \[{u_{2024}} = {3^{2024}} - {2^{2024}} + 3 \cdot 2024.\]

Xét chữ số tận cùng:

     \[{3^{2024}} \equiv 1\quad ,\quad {2^{2024}} \equiv 6\quad ,\quad 3 \cdot 2024 = 6072 \equiv 2\quad .\]

Suy ra:

                                    \[{u_{2024}} \equiv 1 - 6 + 2 \equiv 7\quad .\]

Vậy chữ số cuối cùng của \({u_{2024}}\) là \(7\).

Giải chi tiết:

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

                                     \[{u_n} = {u_1} + (n - 1)d = 2025 - 5(n - 1).\]

Gọi \({u_k}\) là số hạng đầu tiên nhận giá trị âm, ta có

       \[{u_k} < 0 \Leftrightarrow 2025 - 5(k - 1) < 0 \Leftrightarrow 5k > 2030 \Leftrightarrow k > 406.\]

Vì \(k \in \mathbb{N}\) nên \(k = 407\).

Vậy bắt đầu từ số hạng \({u_{407}}\) thì cấp số cộng nhận giá trị âm.