Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 24)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Mệnh đề nếu thì.

Lời giải

Mệnh đề "Nếu \(P\) thì \(Q\), trong đó \(P\) là điều kiện đủ để có \(Q\), và \(Q\) là điều kiện cần để có \(P\).

\(P\): "là hai tam giác bằng nhau"

\(Q\): "là diện tích của chúng bằng nhau"

Vậy "Hai tam giác bằng nhau là điều kiện để để diện tích của chúng bằng nhau."

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Công thức hệ thức lượng

Lời giải

Coi người nhìn từ điểm A cách gốc cây B một khoảng 30 m , nhìn ngọn cây C dưới góc \({45^ \circ }\).

Do sườn đồi dốc \(16{\rm{\% }}\), nên sườn đồi tạo với phương nằm ngang một góc \(\widehat {BAD} \approx {9^ \circ }\).

Từ đó ta có: \(\widehat {BAC} = \widehat {DAC} - \widehat {DAB} = {36^ \circ }\) và \(\widehat {BCA} = {45^ \circ }\).

Áp dụng định lý Sin cho tam giác \(ABC\), ta được: \(BC = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {BCA}}}.{\rm{sin}}\widehat {BAC} = 25\left( m \right)\).

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

\(f\left( x \right) = {x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 2m + 7 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Khi đó ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta }} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 > 0}\\{{{(m + 1)}^2} - 4\left( {2m + 7} \right) < 0}\end{array} \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 27 < 0 \Leftrightarrow  - 3 < m < 9} \right.} \right.\).

Mà ta cần tìm \(m\) nguyên dương. Vậy suy ra \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\), do đó có 8 giá trị \(m\) thỏa mãn.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Công thức tính trung vị.

Lời giải

Ta có: \(n = 50\) nên trung vị của dãy số liệu là trung bình cộng của hai số ở vị trí 25 và 26 .

Mà trung vị của mẫu số liệu trên là 37,5 . Hay \({M_e} = \frac{{37 + 38}}{2} = 37,5\).

Từ đó ta có số liệu đứng thứ 25 là 37 và thứ 26 là 38 . Suy ra \(x = 7\).

Mà cỡ mẫu \(n = 50\), vậy \(y = 12\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tính xác suất cổ điển.

Lời giải

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{14}^4 = 1001\).

Ta có hai trường hợp xảy ra: Có 3 nam hoặc 4 nam.

Gọi A là biến cố chọn được ít nhất 3 nam, khi đó: \(n\left( A \right) = C_6^3.C_8^1 + C_6^4 = 175\).

Xác suất để A xảy ra là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{25}}{{143}}\).

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Định nghĩa hàm số chẵn.

Lời giải

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow  - x \in \mathbb{R}\).

Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \mathbb{R}\).

Khi đó ta có:

\(3m.\sin \left( { - 2025x} \right) + \cos \left( { - 2025x} \right) = 3m.\sin \left( {2025x} \right) + \cos \left( {2025x} \right) \Leftrightarrow 6m.{\rm{sin}}\left( {2025x} \right) = 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow m = 0\). Vậy \(m = 0\) thỏa mãn đề bài

Đáp án đúng là "322"

Phương pháp giải

Hàm số liên tục.

Lời giải

Hàm số liên tục khi \({\rm{sin}}x = 0\). Ta có \({\rm{sin}}x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Trường hợp 1: \(x = 0\) - tương ứng với \(k\) chẵn .

 Hàm số liên tục tại \(x = 0\).

Trường hợp 2: \(x = \pi \) - tương ứng với \(k\) lẻ.

 Hàm số không liên tục tại \(x = \pi \).

Mặt khác ta có \(0 < x = k\pi  < 2025 \Leftrightarrow 0 < k\pi  < 644,6\pi  \Leftrightarrow 0 < k < 644,6\)

Vậy có 322 giá trị \(k\) lẻ thuộc đoạn trên nên hàm số gián đoạn tại 322 điểm.

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình và biện luận theo \(m\)

Lời giải

Ta có: \({m^2}{\rm{ln}}\left( {\frac{x}{e}} \right) = \left( {2 - m} \right){\rm{ln}}x - 4\)

\( \Leftrightarrow {m^2}\left( {{\rm{ln}}x - 1} \right) = \left( {2 - m} \right){\rm{ln}}x - 4 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + m - 2} \right){\rm{ln}}x = {m^2} - 4\). (1)

Ÿ Với \({m^2} + m - 2 = 0 \Rightarrow m = 1(m > 0)\)

(1) \( \Leftrightarrow 0.{\rm{ln}}x =  - 3\) ( Vô lý) Suy ra loại \(m = 1\)

Ÿ Với \(m \ne 1\)

(1) \( \Leftrightarrow {\rm{ln}}x = \frac{{m - 2}}{{m - 1}}\) (2).

Hàm số \(y = {\rm{ln}}x\) đồng biến trên \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\), suy ra \({\rm{ln}}x \in \left[ { - 1;0} \right]\).

Phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {\frac{1}{e};1} \right]\) khi:

\( - 1 \le \frac{{m - 2}}{{m - 1}} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m - 2}}{{m - 1}} \ge  - 1}\\{\frac{{m - 2}}{{m - 1}} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge \frac{3}{2}}\\{m < 1}\end{array}} \right.}\\{1 < m \le 2}\end{array} \Leftrightarrow \frac{3}{2} \le m \le 2} \right.} \right.\) suy ra \(m = 2\)