Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 21)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay

Lời giải

Thể tích khối tròn xoay cần tính là :

Đáp án đúng là "-5"

Phương pháp giải

Dùng tính chất của tích phân

Lời giải
Ta có:
Mặt khác:
Mà \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) và \(f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\).
Do đó:
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow f\left( 3 \right) - 6 =  - 11 \Rightarrow f\left( 3 \right) =  - 5\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Chia trường hợp với hệ số \(a = 0\) và \(a \ne 0\). Cô lập tham số \(m\)

Lời giải
TH1: \(m = 0\). Khi \(m = 0\) hàm số trở thành : \(y = {x^2} + 3x + 2\)
\(y' = 2x + 3\)

\(y' = 0 \Rightarrow x = \frac{{ - 3}}{2}\)
Ta thấy rằng hàm số \(y = {x^2} + 3x + 2\) đồng biến trên khoảng : \(\left( { - \frac{3}{2}; + \infty } \right)\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow \) Giá trị \(m = 0\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m \ne 0\)
\(y' = 3m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3\)
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\(3m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 3 \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow 3m{x^2} - 2mx + 2x + 3 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {3{x^2} - 2x} \right) + 2x + 3 \ge 0\)
\( \Leftrightarrow m\left( {3{x^2} - 2x} \right) \ge - 2x - 3\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta thấy \(3{x^2} - 2x > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > \frac{2}{3}}\\{x < 0}\end{array}} \right.\). Vậy trong khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) biểu thức \(3{x^2} - 2x > 0\)
\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 2x - 3}}{{3{x^2} - 2x}}\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)
Đặt
Khảo sát hàm số : \(f\left( x \right) = \frac{{ - 2x - 3}}{{3{x^2} - 2x}}\)

\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 6{x^2} + 18x - 2}}{{{{\left( {3{x^2} - 2x} \right)}^2}}}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow - 6{x^2} + 18x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 9 + \sqrt {93} }}{6} \notin \left( {1; + \infty } \right)}\\{x = \frac{{ - 9 - \sqrt {93} }}{6} \notin \left( {1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy :
Vậy \(m \ge - 5\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dựa vào hình dạng đồ thị \(y = f'\left( x \right)\)

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng từ \(\left( { - 1;0} \right)\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đạo hàm và biện luận phương trình bậc 2

Lời giải

Xét hàm số : \(y = \frac{{{x^2} - mx + 4}}{{x - m}}\)

Tập xác định \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\)

\(y' = \frac{{{x^2} - 2mx + {m^2} - 4}}{{{{(x - m)}^2}}}\)

Xét: \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 4 = 0\) (*)

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \(m\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 2{m^2} + {m^2} - 4 \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4 \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} = 4 > 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số luôn có hai cực trị với mọi \(m\)

Phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có hai nghiệm: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{m + 2}}{1} = m + 2}\\{{x_2} = \frac{{m - 2}}{1} = m - 2}\end{array}} \right.\)

Theo bài ta có :

\(\begin{array}{l}{x_1}^3 + {x_2}^3 = {(m + 2)^3} + {(m - 2)^3}\\ = (m + 2 + m - 2)\left[ {{{(m + 2)}^2} - (m + 2)(m - 2) + {{(m - 2)}^2}} \right]\\ = 2m\left( {{m^2} + 4m + 4 - {m^2} + 4 + {m^2} - 4m + 4} \right)\\ = 2m\left( {{m^2} + 8} \right)\end{array}\)

Mà \({x_1}{\;^3} + {x_2}{\;^3} = 18 \Rightarrow 2{m^3} + 16m = 18 \Leftrightarrow 2{m^3} + 16m - 18 = 0 \Rightarrow m = 1\)

Đáp án đúng là "9"

Phương pháp giải

Khảo sát và đánh giá

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\)

\(g'(x) = \left( {3{x^2} - 3} \right).f'\left( {{x^3} - 3x} \right)\)

\({g^\prime }(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - 3 = 0}\\{{x^3} - 3x =  - 1}\\{{x^3} - 3x = 1}\\{{x^3} - 3x = 2}\\{{x^3} - 3x = 4\,\,({\rm{nghiem}}\,\,{\rm{kep}})}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  \pm 1}\\{x \approx  \pm 1,87}\\{x \approx  \pm 1,53}\\{x \approx  \pm 0,34}\\{x = 2}\\{x =  - 1}\\{x \approx 2,19}\end{array}} \right.} \right.\)

Dựa vào số nghiệm của phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) ta thấy phương trình có hai nghiệm kép: \(x =  - 1\) và \(x \approx 2,19\) và 9 nghiệm đơn

Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\) có 9 cực trị

Đáp án đúng là \({\bf{B}}\)

Phương pháp giải

Đặ \(t = 1 - \sqrt {{x^3} + x} \), khảo sát hàm \(f\left( t \right)\) vừa nhận được và đánh giá

Lời giải

Ta có: \(f\left( {1 - \sqrt {{x^3} + x} } \right) = a\,\,\left( 1 \right)\). Điều kiện xác định: \({x^3} + x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\).

Đặt \(t = 1 - \sqrt {{x^3} + x} \), phương trình (1) thành \(f\left( t \right) = a\) (2)

Xét hàm số \(y = 1 - \sqrt {{x^3} + x} \) trên nửa khoảng \(\left[ {0; + \infty } \right)\).

\(y' = - \frac{{3{x^2} + 1}}{{2\sqrt {{x^3} + x} }} < 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số \(y = 1 - \sqrt {{x^3} + x} \) nghịch biến trên (\(0; + \infty \)).

Do  và \(y\left( 0 \right) = 1\) nên \(t \le 1\) với mọi \(x \in \left[ {0; + \infty } \right)\).

Với mỗi giá trị \(t \le 1\) có duy nhất giá trị \(x \in \left[ {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) số nghiệm của phương trình (1) là số nghiệm \(t \le 1\) của phương trình (2).

Theo giả thiết, phương trình (1) có nghiệm \( \Rightarrow \) phương trình (2) có nghiệm \(t \le 1\) và từ đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) đã cho thì phương trình (2) có nhiều nhất 2 nghiệm và ít nhất 1 nghiệm \(t \le 1\).

Vậy \(m + n = 3\).