$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{800x + 600y \ge 1200\,\,(1)}\\{200x + 400y \ge 600\,\,\,\,(2)}\end{array}} \right.$(*)

Biển diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác $ABCD$, trong đó:

$A\left( {2;\frac{3}{2}} \right)$; $B\left( {2;\frac{1}{2}} \right)$; $C\left( {\frac{3}{5};\frac{6}{5}} \right)$; $D\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)$

Gọi $F$ là số tiền (đơn vị: nghìn đồng) mà gia đình đó phải chi ra để mua $x$ kg thịt bò và $y$ kg thịt lợn, ta có $F = 200x + 100y$. Giá trị của $F$ tại các đỉnh của tứ giác như sau:

Tại $A\left( {2;\frac{3}{2}} \right):F = 200.2 + 100.\frac{3}{2} = 550;$

Tại $B\left( {2;\frac{1}{2}} \right)$:$F = 200.2 + 100.\frac{1}{2} = 450;$

Tại $C\left( {\frac{3}{5};\frac{6}{5}} \right):F = 200.\frac{3}{5} + 100.\frac{6}{5} = 240;$

Tại $D\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)$:$F = 200.\frac{3}{8} + 100.\frac{3}{2} = 225$.

Ta thấy $F$ đạt giá trị nhỏ nhất là 225 tại $D\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)$. Khi đó $T = 2x + {y^2} = 2.\frac{3}{8} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = 3$.

Câu 2

Lúc 6 giờ 15 phút sáng, bạn Hoàng đi xe đạp từ nhà ở điểm $A$ đến trường ở điểm $B$. Khoảng cách từ nhà Hoàng đến trường theo đường chim bay là 900 m. Trong quá trình đi, Hoàng phải đạp xe lên và xuống trên một con dốc có đỉnh $C$ với độ dốc khi lên và xuống lần lượt là ${6^ \circ }$ và ${5^ \circ }$ như hình vẽ bên dưới.

Biết tốc độ trung bình lúc lên dốc và xuống dốc của Hoàng lần lượt là $5,4{\rm{\;km/h}}$ và 21,6 ${\rm{km/h}}$. Thời điểm Hoàng đến trường gần nhất với thời điểm nào dưới đây?

A. 6 giờ 21 phút.

B. 6 giờ 20 phút.

C. 6 giờ 25 phút.

D. 6 giờ 24 phút.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng định lý sin trong tam giác.

Lời giải

Ta có $\hat C = {180^o} - \left( {\hat A + \hat B} \right) = {180^o} - \left( {{5^o} + {6^o}} \right) = {169^o}$.

Xét tam giác $ABC$, ta có: $\frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}}$ (định lý sin)

Suy ra $\frac{{900}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}} = \frac{{AC}}{{{\rm{sin}}{5^o}}} = \frac{{BC}}{{{\rm{sin}}{6^o}}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC = \frac{{900{\rm{sin}}{5^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}}\\{BC = \frac{{900{\rm{sin}}{6^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}}\end{array}} \right.$

Đổi $5,4{\rm{\;km/h}} = 1,5{\rm{\;m/s}};\,\,21,6{\rm{\;km/h}} = 6{\rm{\;m/s}}$.

Thời gian lên dốc của Hoàng là: $\frac{{900{\rm{sin}}{5^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}:1,5 = \frac{{600{\rm{sin}}{5^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}$(s)

Thời gian lên xuống của Hoàng là: $\frac{{900{\rm{sin}}{6^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}:6 = \frac{{150{\rm{sin}}{6^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}}$(s)

Tổng thời gian Hoàng đi từ nhà đến trường là: $\frac{{600{\rm{sin}}{5^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}} + \frac{{150{\rm{sin}}{6^o}}}{{{\rm{sin}}{{169}^o}}} \approx 356,2$(s)

Đổi 356,2 giây $ \approx 6$ phút.

Ta có 6 giờ 15 phút + 6 phút $ = 6$ giờ 21 phút.

Vậy thời điểm Hoàng đến trường khoảng 6 giờ 21 phút.

Câu 3

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x + 5m - 6} }}$ ($m$ là tham số). Số giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 10;10} \right]$ để hàm số đã cho xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ là

A. 6.

B. 7.

C. 9.

D. 8.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tam thức bậc hai luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ khi và chỉ khi ${\rm{\Delta }} < 0$ (hoặc ${\rm{\Delta '}} < 0$) và hệ số a dương.

Lời giải

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x + 5m - 6} }}$ xác định với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$ khi

$\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x + 5m - 6 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Đặt $g\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x + 5m - 6$. Ta cần tìm $m$ để $g\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

Trường hợp 1: $m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

Khi đó $g\left( x \right) = 2x + 4$.

Ta có $g\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 2x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 2$. Điều này không thỏa $g\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Trường hợp 2: $m - 2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2$.

$g\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {2m - 3} \right)x + 5m - 6 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta '}} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 2 > 0}\\{{{(2m - 3)}^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {5m - 6} \right) < 0}\end{array}} \right.} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{ - {m^2} + 4m - 3 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 1}\\{m > 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m > 3} \right.$

Mà $m$ là số nguyên thuộc đoạn $\left[ { - 10;10} \right]$ nên có 7 giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 4

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai đường thẳng ${d_1}:\sqrt 3 x + y = 0$ và ${d_2}:\sqrt 3 x - y = 0$. Gọi $\left( T \right)$ là đường tròn tiếp xúc với ${d_1}$ tại $A$, cắt ${d_2}$ tại hai điểm $B$ và $C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Tìm tọa độ tâm $I$ của $\left( T \right)$, biết tam giác $ABC$ có diện tích bằng $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ và điểm $A$ có hoành độ dương.

A. $I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2}} \right)$.

B. $I\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3};\frac{1}{2}} \right)$.

C. $I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{2}} \right)$.

D. $I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{{12}}; - \frac{3}{2}} \right)$.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.

Lời giải

Dễ thấy $O \in {d_1},O \in {d_2}$ nên ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại $O$ và

${\rm{cos}}\left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3 - 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{\sqrt 3 }^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\sqrt 3 }^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{2}$ nên $\widehat {AOB} = {60^ \circ }$

Vì tam giác $OAB$ vuông tại $B$ nên $\widehat {AOB} = \widehat {BAC} = {60^ \circ }$.

Ta có:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2}\left( {OA.\sin \widehat {AOB}} \right).\left( {OA.\tan \widehat {AOB}} \right).{\rm{sin}}\widehat {BAC}$$ = \frac{1}{2}\left( {OA.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right).\left( {OA.\sqrt 3 } \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{8}O{A^2}$

Mà ${S_{ABC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ nên $\frac{{3\sqrt 3 }}{8}O{A^2} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow O{A^2} = \frac{4}{3}$.

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)\left( {{x_A} > 0} \right)$. Vì $A$ thuộc ${d_1}:\sqrt 3 {x_A} + {y_A} = 0$ nên $\sqrt 3 {x_A} + {y_A} = 0$ và $O{A^2} = \frac{4}{3}$ nên $x_A^2 + y_A^2 = \frac{4}{3}$.

Tìm được $A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; - 1} \right)$.

Đường thẳng $AC$ qua $A\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{3}; - 1} \right)$ và vuông góc với ${d_1}:\sqrt 3 x + y = 0$ nên đường thẳng $AC$ có phương trình là $\sqrt 3 x - 3y - 4 = 0$.

$C$ là giao điểm của đường thẳng $\sqrt 3 x - 3y - 4 = 0$ và ${d_2}:\sqrt 3 x - y = 0$ nên $C\left( {\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}; - 2} \right)$.

Gọi I và trung điểm $AC$, ta có $I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{2}} \right)$. Vì I là trung điểm $AC$ nên I cũng là tâm của đường tròn ($T$).

Vậy tọa độ tâm I của $\left( T \right)$ là $I\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{6}; - \frac{3}{2}} \right)$.

Câu 5

Thống kê điểm thi giữa kì môn Giải tích của các sinh viên năm nhất ở một lớp nọ theo bảng sau:

Điểm

0

5,5

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

10

Số sinh viên

2

1

1

1

2

10

12

13

10

7

2

Số giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên là

A. 5.

B. 0.

C. 3.

D. 2.

Lời giải

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Giá trị ${x_i}$ trong mẫu số liệu được gọi là giá trị ngoại lệ nếu ${x_i} > {Q_3} + 1,5{{\rm{\Delta }}_Q}$ hoặc ${x_i} < {Q_1} - 1,5{{\rm{\Delta }}_Q}$, trong đó ${Q_1},{Q_3},{{\rm{\Delta }}_Q}$ lần lượt là tứ phân vị thứ nhất, tứ phân vị thứ ba và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

Lời giải

Cỡ mẫu $n = 60$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{60}}$ là điểm số của 60 sinh viên xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là ${Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {7,5 + 7,5} \right) = 7,5$.

Tứ phân vị thứ ba là ${Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{45}} + {x_{46}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {9 + 9} \right) = 9$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là ${{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 9 - 7,5 = 1,5$.

Ta có ${Q_3} + 1,5{{\rm{\Delta }}_Q} = 9 + 1,5.1,5 = 11,25;\,\,{Q_1} - 1,5{{\rm{\Delta }}_Q} = 7,5 - 1,5.1,5 = 5,25$.

Có 2 sinh viên có điểm số là $x = 0$ và 1 sinh viên có điểm số là $x = 5,5$ thỏa mãn $x < {Q_1} - 1,5{{\rm{\Delta }}_Q}$ nên mẫu số liệu trên có 3 giá trị ngoại lệ.

Câu 6

Trong buổi lễ khai mạc trước trận chung kết bóng đá nam, có 4 trọng tài và 2 đội bóng, mỗi đội gồm 11 cầu thủ tham gia bắt tay với nhau. Mỗi cầu thủ của hai đội bắt tay một lần với mọi người trừ đồng đội của mình, những trọng tài không chủ động bắt tay với người khác. Hỏi có tổng cộng bao nhiêu cái bắt tay? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: ____

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Đường kính (cm)	\(\left[ {30;32} \right)\)	\(\left[ {32;34} \right)\)	\(\left[ {34;36} \right)\)	\(\left[ {36;38} \right)\)	\(\left[ {38;40} \right)\)	\(\left[ {40;42} \right)\)
Số cây	25	37	18	8	7	5

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý