Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 16

\(g'\left( x \right) = f'\left( {x - 1} \right) - \left( {2m + 1} \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {x - 1} \right) - 2m - 1 \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) (1).

Ta có: Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có dạng đồ thị hàm bậc 3

\( \Rightarrow \) phương trình \(y = f'\left( x \right)\) có dạng: \(y = f'\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) với \(a \ne 0\)

Đồ thị hàm số đi qua các điểm có tọa độ: \(\left( { - 2;2} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {1;2} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8a + 4b - 2c + d = 2}\\{0.a + 0.b + 0.c + d =  - 1}\\{a + b + c + d = 2}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d =  - 1}\\{ - 8a + 4b - 2c = 3}\\{a + b + c = 3}\end{array}} \right.\) (*)

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tọa độ: \(\left( { - 2;2} \right),\left( {0; - 1} \right)\)

\( \Rightarrow x =  - 2\) là nghiệm của phương trình \(y' = 0\).

Có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow 12a - 4b + c = 0\) (**)

Từ \(\left( {\rm{*}} \right),\left( {{\rm{**}}} \right)\) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8a + 4b - 2c = 3}\\{a + b + c = 3}\\{12a - 4b + c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{3}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow y = f'\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} + \frac{9}{4}{x^2} - 1\)

\( \Rightarrow f'\left( {x - 1} \right) = \frac{3}{4}{(x - 1)^3} + \frac{9}{4}\left( {x - 1} \right) - 1 = \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 4\).

\( \Rightarrow \) Bất phương trình (1)\( \Leftrightarrow \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 4 - 2m - 1 \ge 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Xét hàm số: \(h\left( x \right) = \frac{3}{4}{x^3} - \frac{9}{4}{x^2} + \frac{9}{2}x - 5\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow h\left( x \right) - 2m \ge 0 \Leftrightarrow h\left( x \right) \ge 2m,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

.

Có \(h'\left( x \right) = \frac{9}{4}{x^2} - \frac{9}{2}x + \frac{9}{2}\)

Ta thấy: \(h'\left( x \right) > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow \) Hàm số \(y = h\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên hàm số \(y = h\left( x \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: \(2m \le  - 5 \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 5}}{2}\)

Mà \(m \in \left[ { - 2025;2025} \right],m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Có tất cả 2023 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(2023\).

TH1: \(m = 0:f\left( x \right) = 4 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng) \( \Rightarrow m = 0\) thỏa mãn.

TH2: \(m \ne 0\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{{\rm{\Delta '}} < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{{m^2} - 4m < 0}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( {0;4} \right)} \right.} \right.\).

Vậy \(m \in \left[ {0;4} \right)\). Chọn D.

Ta có độ dài trục lớn bằng 20 m, độ dài trục bé bằng 16 m nên \(a = \frac{{20}}{2} = 10;b = \frac{{16}}{2} = 8\).

Đặt hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho gốc tọa độ \(O\) trùng với tâm đường Elip, trục \(Ox\) trùng với trục lớn, trục Oy trùng với trục bé của Elip. Khi đó, phương trình chính tắc của Elip là:

\(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{10}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{8^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\).

Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right),{x_M} > 0,{y_M} > 0\).

Do chiều dài của phần trồng hoa là \(MN = 16{\rm{\;m}}\) nên \({x_M} = 8\).

Mà \(M\) thuộc \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1\) nên \(\frac{{x_M^2}}{{100}} + \frac{{y_M^2}}{{64}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{8^2}}}{{100}} + \frac{{y_M^2}}{{64}} = 1 \Rightarrow {y_M} = \frac{{24}}{5}\left( {{y_M} > 0} \right)\).

Chiều rộng của phần trồng hoa là \(MQ = 2.\frac{{24}}{5} = \frac{{48}}{5}\).

Diện tích của phần trồng hoa là \(16.\frac{{48}}{5} = \frac{{768}}{5} \approx 154\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Đáp án cần nhập là: \(154\).

Cỡ mẫu \(n = 60\).

Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{60}}\) là điểm số của 60 sinh viên xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ nhất là \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {7,5 + 7,5} \right) = 7,5\).

Tứ phân vị thứ ba là \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {{x_{45}} + {x_{46}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {9 + 9} \right) = 9\).

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là \({{\rm{\Delta }}_Q} = {Q_3} - {Q_1} = 9 - 7,5 = 1,5\).

Ta có \({Q_3} + 1,5{{\rm{\Delta }}_Q} = 9 + 1,5 \cdot 1,5 = 11,25;\,\,{Q_1} - 1,5{{\rm{\Delta }}_Q} = 7,5 - 1,5 \cdot 1,5 = 5,25\).

Có 2 sinh viên có điểm số là \(x = 0\) thỏa mãn \(x < {Q_1} - 1,5{{\rm{\Delta }}_Q}\) nên mẫu số liệu trên có 2 giá trị ngoại lệ. Chọn D.

Để bó được 1 bó theo yêu cầu của bài toán, ta cần: 5 bông hồng xanh, trong mỗi bó hoa đều có các màu trắng, hồng, cam.

Chọn 5 bông từ 40 bông có: \(C_{40}^5\)

Chọn 1 bông màu cam: có 30 cách chọn

Chọn 1 bông màu đỏ: có 20 cách chọn

Chọn 1 bông màu trắng có 30 cách chọn

Vậy còn lại: 29 bông cam, 19 bông đỏ, 29 bông trắng

Chọn 7 bông hoa từ 77 bông có \(C_{77}^7\) cách chọn

Vậy có tất cả: \(C_{40}^5.30.20.30.C_{77}^7\) cách xếp hoa thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Gọi \(A\) là biến cố "anh Thành tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang".

Gọi \(B\) là biến cố "anh Thành tiếp xúc với người bệnh mà có đeo khẩu trang".

Theo đề ta có: \(P\left( A \right) = 0,95;P\left( B \right) = 0,2\).

Xác suất để anh Thành không bị lây bệnh khi tiếp xúc với người bệnh mà không đeo khẩu trang là: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0,95 = 0,05\).

Xác suất để anh Thành không bị lây bệnh khi tiếp xúc với người bệnh mà có không đeo khẩu trang là: \(P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( B \right) = 1 - 0,2 = 0,8\).

Xác suất anh Thành không bị lây bệnh truyền nhiễm từ người bệnh mà anh tiếp xúc là:

\(P\left( {\overline {AB} } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( {\overline B } \right) = 0,05.0,8 = 0,04\)

Xác suất anh Thành bị lây bệnh truyền nhiễm từ người bệnh mà anh tiếp xúc là

\(1 - P\left( {\overline {AB} } \right) = 1 - 0,04 = 0,96\).

Đáp án cần nhập là: \(0,96\).

\(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\) và tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).

Do đó \(I\left( {1;2} \right)\).

Ta có: \(y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\). Gọi \(A\left( {{x_A};\frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}} \right)\) là điểm thuộc \(\left( C \right)\).

Phương trình tiếp tuyến \(\left( T \right)\) của \(\left( C \right)\) tại \(A\) là:\(y = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_A}} \right) + \frac{{2{x_A} - 1}}{{{x_A} - 1}}\).

\(H\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và tiệm cận đứng nên \(H\left( {1;\frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)\);

\(K\)là giao điểm của \(\left( T \right)\) và tiệm cận ngang nên \(K\left( {2{x_A} - 1;2} \right)\).

Do đó: \(HK = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - \frac{{2{x_A}}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {2{x_A} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 2}}{{{x_A} - 1}}} \right)}^2}} \)

\( = 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}} \)

Ta có: \({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}.\frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}}}  = 2 \Rightarrow HK \ge 2\sqrt 2 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(HK\) là \(2\sqrt 2 \), đạt được khi:

\({\left( {{x_A} - 1} \right)^2} = \frac{1}{{{{\left( {{x_A} - 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = 2 \Rightarrow {y_A} = 3 \Leftrightarrow m = 3}\\{{x_A} = 0 \Rightarrow {y_A} = 1 \Leftrightarrow m = 1}\end{array}} \right.\).

Tích các giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán là: \(3 \cdot 1 = 3\). Chọn C.

Ta có tiền vốn bỏ ra cho bởi hàm số \(h(x) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^2} - 30000x + {10^9}\) với \(x > 0\).

Khi đó \(h'\left( x \right) = 2x - 30000\). Cho \(h'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 2x - 30000 = 0 \Rightarrow x = 15000\).

Bảng biến thiên:

Vậy giá bán mỗi kg rau là \(x = 15000\) (đồng) thì cửa hàng bỏ ra vốn ít nhất. Chọn A.