Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 34)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Dùng giới hạn để xác định số tiệm cận của đồ thị hàm số

Lời giải

Tập xác định: \(D = \left( { - \infty ;1\left] \cup \right[2; + \infty } \right)\)

Tiệm cận ngang:

\( \Rightarrow y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\( \Rightarrow y = - 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Tiệm cận đứng: 

\( \Rightarrow x = 5\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tất cả 3 tiệm cận

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) để xác định số cực trị của hàm số

Lời giải

Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right)\) có 3 lần đổi dấu khi \(x\) đi qua các điểm đặc biệt \(\left( {x =  - 1,x = 2,x = 5} \right)\). Tuy nhiên tại \(x = 5\), chúng ta chưa xác định được \(f\left( x \right)\) có liên tục hay không nên hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lập bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right)\)

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 0}\\{f'\left( {{x^2} - 2} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} - 2 = - 2}\\{{x^2} - 2 = 1}\\{{x^2} - 2 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 0}\\{x = \pm \sqrt 3 }\\{x = \pm 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Bảng biến thiên kết hợp bảng xét dấu:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Số cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = a + b\) với a là số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), b là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

Lời giải

Số cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right| = a + b\) với a là số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\), b là số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\)

Xét hàm số: \(y = f\left( x \right) - 2m\)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right) \Rightarrow y = f\left( x \right) - 2m\) có 2 cực trị \( \Rightarrow a = 2\)

Xét phương trình \(f\left( x \right) - 2m = 0\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = 2m\) (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2m\)

Để hàm số \(y = \left| {f\left( x \right) - 2m} \right|\) có 5 cực trị thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt \( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = 2m\) cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = 2m\) tại 3 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m = 4}\\{2m = - 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m = - 2}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(S = \left\{ { - 2;2} \right\}\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là: \( - 2 + 2 = 0\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y' \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)}\\{\frac{{ - e}}{d} \notin \left( {a;b} \right)}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Tập xác định: \(D = R\backslash \left\{ m \right\}\)

Ta có:

\(y' = \frac{{{x^2} - 2mx + 2m}}{{{{(x - m)}^2}}}\)

Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} - 2mx + 2m}}{{{{(x - m)}^2}}}}\\{m \notin \left( { - 1;1} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2mx + 2m \ge 0,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\left( {\rm{*}} \right)}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le - 1}\\{m \ge 1}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

Xét bất phương trình (*) \({x^2} - 2mx + 2m \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 2m\left( {x - 1} \right)\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\)

Vì \(x \in \left( { - 1;1} \right) \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} \le 2m\)

Đặt

\(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{{x - 1}}\)

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 \notin \left( { - 1;1} \right)}\\{x = 0 \in \left( { - 1;1} \right)}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy:

Kết hợp với yêu cầu bài toán và các điều kiện \( \Rightarrow m \in \left[ {1; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Suy rộng đồ thị kết hợp tịnh tiến đồ thị

Lời giải

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta suy ra đồ thị hàm số: \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) ta được:

​

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) ta tịnh tiến đồ thị sang phải 2025 đơn vị, ta được đồ thị hàm số \(y = f\left( {\left| {x - 2025} \right|} \right)\)

​

Dễ thấy đồ thị hàm số không có sự thay đổi, đồ thị chỉ dịch sang phải 2025 đơn vị

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {\left| {x - 2025} \right|} \right) - 2m = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số:\(y = f\left( {\left| {x - 2025} \right|} \right)\) và đường thẳng \(y = 2m\)

Để phương trình \(f\left( {\left| {x - 2025} \right|} \right) - 2m = 0\) có 4 nghiệm thực

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m = a,\,\,0 < a < 1}\\{2m = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{a}{2},\,\,0 < a < 1}\\{m = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định phương trình đi qua hai điểm cực trị, xét vị trí tương đối của đường thẳng \(AB\) và

đường tròn \(\left( C \right)\)

Lời giải

\(y' = 3{x^2} - \left( {2m + 1} \right)\)

Hàm số đã cho có hai cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{2}\)

Ta có: \(y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = \frac{x}{3}.y' - \frac{2}{3}\left( {2m + 1} \right)x - 3\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: \(d:y = \frac{{ - 2}}{3}\left( {2m + 1} \right)x - 3\)

Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định \(K\left( {0; - 3} \right)\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

\(d\left( {I;d} \right) \le IK = \sqrt 2 < R = 4\) nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm \(M,N\)

Để khoảng cách \(MN\) lớn nhất thì đường thẳng d đi qua tâm \(I\). Khi đó \(MN = 2R\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(d\):

\( - 2 = \frac{{ - 2}}{3}\left( {2m + 1} \right).\left( { - 1} \right) - 3 \Rightarrow m = \frac{5}{4}\)

Phương trình đường thẳng \(d:y = \frac{{ - 7}}{3}x - 3 \Leftrightarrow 7x + 3y + 9 = 0\)

Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(d:d\left( {E;d} \right) = \frac{{\left| {7.2 + 3.1 + 9} \right|}}{{\sqrt {{7^2} + {3^2}} }} = \frac{{13\sqrt {58} }}{{29}}\).