Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 23)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xem lại cách xác định mệnh đề phủ định.

Lời giải

Cách xác định mệnh đề phủ định: Thay dấu ∀ thành dấu ∃ và ngược lại, đồng thời đối với mệnh đề cuối cùng không đi cùng dấu ∀ và ∃, lấy mệnh đề phủ định của mệnh đề đó.

Sử dụng phương pháp trên, ta xác định được mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là 

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đưa về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải

Gọi số kg nước trái cây loại I và loại II mà tiệm sẽ sản xuất trong một ngày lần lượt là \(x,y\left( {x,y \ge 0} \right)\).

Khi đó, lượng táo, cam và dứa mà cửa hàng sẽ sử dụng lần lượt là \(2x + 3y,\,\,x + 4y,\,\,4x + y\left( {{\rm{kg}}} \right)\).

Do trong một ngày, cửa hàng đó có thể sử dụng tối đa 120 kg táo, 120 kg cam và 150 kg dứa, nên ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0,y \ge 0}\\{2x + 3y \le 120}\\{x + 4y \le 120}\\{4x + y \le 150}\end{array}} \right.\).

Khi đó, biểu diễn hệ bất phương trình trên trên hệ toạ độ \(Oxy\), ta được miền nghiệm của hệ là miền đa giác với các đỉnh \(O\left( {0;0} \right),A\left( {0;30} \right),B\left( {24;24} \right),C\left( {33;18} \right),D\left( {37,5;0} \right)\).

Lợi nhuận của quán trong một ngày sẽ là \(L\left( {x;y} \right) = 70000\left( {x + y} \right)\) (đồng).

\(\begin{array}{l}L\left( O \right) = 0\\L\left( A \right) = 70000\left( {0 + 30} \right) = 2100000\\L\left( B \right) = 70000\left( {24 + 24} \right) = 3360000\\L\left( C \right) = 70000\left( {33 + 18} \right) = 3570000\\L\left( D \right) = 70000\left( {37,5 + 0} \right) = 2625000\end{array}\)

Khi đó, ta xác định được lợi nhuận tối đa của quán trong một ngày là 3570000 đồng khi lựa chọn sản xuất 33 kg nước loại I và 18 kg nước loại II.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng các phương trình tính độ dài đáy và chiều cao của tam giác.

Lời giải

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {3;4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ chỉ phương là \(1\left( {x - 3} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 7 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(C\) tới đường thẳng \(AB\) là \(d\left( {C;AB} \right) = \frac{{\left| {4 + 6 - 7} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\).

Diện tích tam giác \(ABC\) là \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C;AB} \right) = \frac{1}{2}.\sqrt 2 .\frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{3}{2}\).

Khi đó, do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên diện tích tam giác \(BCG\) là

\({S_{BCG}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{3}{2} = \frac{1}{2}\).

Đáp án đúng là A                                      

Phương pháp giải

Vận dụng khai triển Newton.

Lời giải

Xét khai triển Newton:

\({(1 + x)^n} = C_n^0{.1^0}.{x^n} + C_n^1{.1^1}.{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n{.1^n}.{x^0} = C_n^0.{x^n} + C_n^1.{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n.{x^0}\) (1)

\(\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + 1)}^n} = C_n^0.{x^0}{{.1}^n} + C_n^1.{x^1}{{.1}^{n - 1}} + \ldots + C_n^n.{x^n}{{.1}^0} = C_n^0.{x^0} + C_n^1.{x^1} + \ldots + C_n^n.{x^n}}\end{array}\)(2)

Cho \(x = 1\), khi đó (1) trở thành \({2^n} = C_n^0 + C_n^1 + \ldots  + C_n^n \Leftrightarrow C_n^1 + \ldots + C_n^n = {2^n} - C_n^0 = {2^n} - 1\)

Cho \({2^n} - 1 = 4095 \Leftrightarrow n = 12\).

Nhân theo vế (1) và (2) ta được:

\({(1 + x)^{2n}} = \left( {C_n^0{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}} + \ldots + C_n^n{x^0}} \right)\left( {C_n^0{x^0} + C_n^1{x^1} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)\)

Đồng nhất hệ số của \({x^n}\) ta được:

\(C_{2n}^n = {\left( {C_n^0} \right)^2} + {\left( {C_n^1} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {C_n^1} \right)^2} + \ldots + {\left( {C_n^n} \right)^2} = C_{2n}^n - 1\)

Cho \(n = 12\), ta được \(S = C_{24}^{12} - 1 = 2704155\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình lượng giác đã cho về dạng các phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải

Biến đổi phương trình đã cho:

\[3{\cos ^2}x - \sin x\cos 2x - \frac{{\sin 2x}}{2} - \cos x\cos 2x + \sin x = 2\]

\( \Leftrightarrow 3{\cos ^2}x - 2 - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + {\cos ^2}x - 1 - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x - {\sin ^2}x - \sin x\cos 2x - \sin x\cos x - \cos x\cos 2x + \sin x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x(1 - \sin x - \cos x) + \sin x(1 - \sin x - \cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow (\cos 2x + \sin x)(1 - \sin x - \cos x) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( { - 2{{\sin }^2}x + \sin x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow (\sin x - 1)(2\sin x + 1)\left( {1 - \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = 1}\\{\sin x = \frac{{ - 1}}{2}}\\{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z})} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{2} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi }\\{x = k2\pi }\end{array}\quad (k \in \mathbb{Z})} \right.\)

Cho \(0 < \frac{\pi }{2} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{4} < k < \frac{{4047}}{4} \Rightarrow \) Có 1012 giá trị nguyên của \(k\).

Cho \(0 < \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{{12}} < k < \frac{{12137}}{{12}} \Rightarrow \) Có 1012 giá trị nguyên của \(k\).

Cho \(0 < \frac{{11\pi }}{6} + k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow \frac{{ - 11}}{{12}} < k < \frac{{12133}}{{12}} \Rightarrow \) Có 1012 giá trị nguyên của \(k\).

Cho \(0 < k2\pi < 2024\pi \Leftrightarrow 0 < k < 1012 \Rightarrow \) Có 1011 giá trị nguyên của \(k\).

Khi đó, phương trình đã cho có \(1012 + 1012 + 1012 + 1011 = 4047\) nghiệm trong (\(0;2024\pi \)).

Đáp án đúng là "1364"

Phương pháp giải

Đưa số thập phân đã cho về dạng tổng cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải

Ta có:

\(0,365365365 \ldots  = 0,365 + 0,000365 + 0,000000365 +  \ldots \)

\(0,365365365 \ldots  = {365.10^{ - 3}} + {365.10^{ - 6}} + {365.10^{ - 9}} +  \ldots \)

\(0,365365365 = \frac{{{{365.10}^{ - 3}}}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{365}}{{999}}\)

Vậy \(a = 365,b = 999 \Rightarrow T = a + b = 1364\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Vận dụng kiến thức về dãy số.

Lời giải

Quy ước "giá trị" của những viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\).

Do có thể tuỳ ý di chuyển các viên bi giữa ô thứ nhất và ô thứ hai nên "giá trị" của những viên bi tại ô thứ hai là \({u_2} = {u_1} = 1\).

Từ ô thứ ba trở đi, nếu muốn đặt một con bi vào ô đó thì phải lấy hai viên bi từ hai ô ngay trước đó (mỗi ô lấy đúng một viên bi) để đổi, cho nên "giá trị" của viên bi tại ô thứ \(i\) là \({u_i} = {u_{i - 1}} + {u_{i - 2}}\left( {i \in \mathbb{N};i \ge 3} \right)\)

Khi đó, ta tính được \({u_3} = 2,{u_4} = 3,{u_5} = 5,{u_6} = 8,{u_7} = 13,{u_8} = 21,{u_9} = 34,{u_{10}} = 55\), suy ra giá trị của viên bi tại ô thứ 10 là \({u_{10}} = 55\).

Do "giá trị" của những viên bi tại ô thứ nhất là \({u_1} = 1\) nên cần ít nhất 55 viên bi ở ô thứ nhất để có thể đổi lấy 1 viên bi ở ô thứ 10.