Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 26)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải                                           

Bất phương trình đã cho có vô số nghiệm

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình.

Lời giải

Gọi phương trình tổng quát của đường tròn là \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} - c > 0\)

Ta thay tọa độ ba điểm \(A,B,C\) vào phương trình tổng quát, khi đó ta có hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4a - 2b + c = - 5}\\{ - 2a + 2b + c = - 2}\\{4a - 6b + c = - 13}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{ - 1}}{2}}\\{b = 1}\\{c = - 5}\end{array}} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức lượng

Lời giải

Xét tam giác \(DAC\) ta có:

\({\rm{cos}}\widehat {ACD} = \frac{{DC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{{DC}}{{{\rm{cos}}\widehat {ACD}}} = \frac{{18}}{{{\rm{cos}}{{40}^ \circ }}} \approx 23,5\)

\(AD = CD.{\rm{tan}}\widehat {ACD} = 18.{\rm{tan}}{40^ \circ } \approx 15,1\)

\( \Rightarrow AE = AD + ED = AD + CF \approx 20,1\)

Trong tam giác \(DBC\) ta có \({\rm{cos}}\widehat {BCD} = \frac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow BC = \frac{{DC}}{{{\rm{cos}}\widehat {BCD}}} = \frac{{18}}{{{\rm{cos}}{{50}^ \circ }}} \approx 28\)

Khi đó ta có \(AB = \sqrt {C{A^2} + C{B^2} - 2CA.CB.{\rm{cos}}\widehat {ACB}} \approx 6,34\)

Đáp án đúng là "54"

Phương pháp giải

Khai triển nhị thức.

Lời giải

Ta có \({(x + 3)^4} = {x^4} + 4{x^3}.3 + 6{x^2}{.3^2} + 4x{.3^3} + {3^4}\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) là \({6.3^2} = 54\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Công thức tổ hợp, chỉnh hợp.

Lời giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}}\\{n \ge 2}\end{array}} \right.\).

Ta có

\(A_n^2 - C_n^2 = 4950 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 4950 \Leftrightarrow n.\left( {n - 1} \right) = 9900 \Leftrightarrow n = 100\).

Khi đó \(P = \frac{{n.C_{2n}^n}}{{C_{2n}^{n + 1}}} = \frac{{n.\left( {2n} \right)!}}{{n!.n!}}.\frac{{\left( {n + 1} \right)!.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {2n} \right)!}} = n + 1\).

Vậy \(P = 101\).

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác

Lời giải

\(2\sqrt 3 \sin \left( {x - \frac{\pi }{8}} \right).{\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {x - \frac{\pi }{8}} \right) = \sqrt 3  + 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \left[ {1 + {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = \sqrt 3  + 1\)

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 {\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + {\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{1}{2}{\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left[ {\left( {2x - \frac{\pi }{4}} \right) + \frac{\pi }{6}} \right] = {\rm{sin}}\frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {2x - \frac{\pi }{{12}}} \right) = {\rm{sin}}\frac{\pi }{3} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{8} + k\pi }\end{array},k \in \mathbb{Z}} \right.\).

Vậy số điểm biểu diễn họ nghiệm của phương trình đã cho là 4.

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Công thức tính đạo hàm.

Lời giải

\({\left( {{\rm{ln}}\left( {{x^2} + {e^2}} \right)} \right)} = {\left( {{x^2} + {e^2}} \right)}.{\rm{l}}{{\rm{n}}}\left( {{x^2} + {e^2}} \right) = \frac{{2x}}{{{x^2} + {e^2}}}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Tìm công thức tổng quát của dãy số và tính giới hạn.

Lời giải

Ta có: \({u_{n + 1}} = \frac{1}{2}\left( {{u_n} + 1} \right) \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - 1 = \frac{1}{2}\left( {{u_n} - 1} \right)\).

Đặt \({v_n} = {u_n} - 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_n} = 2024}\\{{v_{n + 1}} = \frac{1}{2}{v_n}}\end{array},n \ge 1} \right.\)

Suy ra dãy \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có số hạng đầu là 2024 , công bội bằng \(\frac{1}{2}\).

\( \Rightarrow {v_n} = 2024.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}},n \ge 1\).

\( \Rightarrow {u_n} = 2024.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} + 1\).

Khi đó \({\rm{lim}}{u_n} = 1\).