Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 25

Miền không gạch chéo là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây?

Cho hai tập hợp \(A = \left[ {2;\;4} \right]\), \(B = \left[ {m - 5;\;m + 5} \right)\). Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa điều kiện\(A\backslash B = \emptyset \)?

Phương trình \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = \sqrt {x + 2} \) có bao nhiêu nghiệm?

Gia chủ có một miếng đất có hình Elip với độ dài trục lớn bằng \({\rm{2}}\sqrt 6 {\rm{ m}}\), độ dài trục nhỏ bằng \({\rm{2 m}}\). Gia chủ muốn trồng hoa thành hình tam giác cân \(OAB\) với điểm \(O\) là tâm của Elip, các điểm \(A\) và \(B\) thuộc đường Elip nói trên. Diện tích trồng hoa lớn nhất bằng

Bạn An cần xếp \(15\) cột đồng xu theo thứ tự cột thứ nhất có 2 đồng xu, các cột tiếp theo cứ tăng ba đồng một cột so với cột đứng trước. Hỏi bạn An cần bao nhiêu đồng xu để xếp?

Cho tứ diện đều \(SABC\). Gọi \(I\)là trung điểm của \(AB\), \(M\) là một điểm di động trên đoạn \(AI\). Gọi \((P)\) là mặt phẳng qua \(M\) và song song \((SIC)\). Thiết diện tạo bởi \((P)\) và tứ diện \(SABC\)là

Cân nặng của một người trưởng thành được lựa chọn ngẫu nhiên trong 30 người được ghi lại ở bảng sau:

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?

Cho các số thực dương \(x,\,y,\,z\) thỏa mãn đồng thời \(\frac{1}{{{{\log }_2}x}} + \frac{1}{{{{\log }_2}y}} + \frac{1}{{{{\log }_2}z}} = \frac{1}{{2020}}\) và \({\log _2}(xyz) = 2020\). Tính \({\log _2}\left( {xyz\left( {x + y + z} \right) - xy - yz - zx + 1} \right)\)

Một vật nặng treo bởi chiếc lò xo, chuyển động lên xuống qua vị trí cân bằng như hình vẽ. Khoảng cách \[h\] từ vật đó đến vị trí cân bằng ở thời điểm \[t\] được tính bởi công thức \[h = \left| d \right|\], trong đó \[d = 4\sin 5t - 3\cos 5t\] , với quy ước \[d > 0\] khi vật ở phía trên vị trí cân bằng và \[d < 0\] khi vật ở phía dưới vị trí cân bằng. Trong một giây đầu tiên, có bao nhiêu lần vật đi qua vị trí cân bằng?

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(2a\), góc giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(B C'\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ đó.

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{{\rm{x}}^2} + c{\rm{x}} + d\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết đồ thị \(\left( C \right)\) tiếp xúc với đường thẳng \(y = 4\) tại điểm có hoành độ dương và đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ.

Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm của phương trình \(f\left( {{2^{3{x^4} - 4{x^2} + 2}}} \right) + 1 = 0\) là

Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình \(MNEIF\)ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật \(ABCD\) có chiều cao \(BC = 6{\rm{ }}m\), chiều dài \(CD = 12{\rm{ }}m\) . Cho biết \(MNEF\) là hình chữ nhật có\[MN = 4{\rm{ }}m\]; cung \(EIF\)có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, \[D.\] Kinh phí làm bức tranh là 900000 đồng/\({m^2}\). Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {1\,;\,3} \right]\),\(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \left[ {1\,;3} \right]\), đồng thời \[f'\left( x \right){\left[ {1 + f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2}\] và \(f\left( 1 \right) = - 1\). Biết rằng \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = a\ln 3 + b\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z},\,\,b \in \mathbb{Z}} \right)\), tính tổng \(S = a + {b^2}\).

Xác định \(a,\)\(b,\)\(c\) để \(F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){{\rm{e}}^{ - x}}\)là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right){{\rm{e}}^{ - x}}\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right]\) và thỏa mãn \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right) \cdot f''\left( x \right) + {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = 0\) với \(\forall x \in \left[ {0\,;\,2} \right]\,.\) Biết \(f\left( 0 \right) = 1;\,f\left( 2 \right) = {e^6},\,\)tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)} f\left( x \right){\rm{d}}x\) bằng

Người ta vẽ trang trí lên tường một hình lục giác đều có cạnh bằng \(2\,dm.\) Trên mỗi cạnh hình lục giác đều, vẽ một cánh hoa hình parbol, đỉnh của parabol cách đều hai đầu mút của cạnh đó đồng thời cách cạnh đó bằng \(3\,dm\) và nằm phía ngoài của hình lục giác, hai đầu mút của cạnh cũng là hai điểm giới hạn của parabol đó. Tính tổng diện tích của hình lục giác đều và \(6\) cánh hoa.

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \[A\left( {0;1;1} \right)\], \(B\left( {1;0;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\). Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng song song với \(\left( P \right)\) đồng thời đường thẳng \(AB\) cắt \(\left( Q \right)\) tại \(C\) sao cho \(CA = 2CB\). Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có phương trình là

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( { - 6; - 9;15} \right)\) và đường kính bằng 10 có phương trình là

Hai bạn Tuấn và Dũng cùng tham gia thi đấu cuộc thi chọn đội tuyển bóng rổ của câu lạc bộ bóng rổ của trường một cách độc lập. Mỗi bạn chỉ ném bóng vào rổ 1 lần. Xác suất để bạn Tuấn và Dũng ném bóng trúng rổ lần lượt là \(0,7\) và \(0,8\). Tính xác suất của biến cố \(C:\) “Cả hai bạn đều ném trúng bóng vào rổ”

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \[\left( S \right)\] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0\] có tâm \[I\] nằm trên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]cố định. Biết rằng \[4{\rm{a}} + b - 2c = 4\]. Tìm khoảng cách từ điểm \[D\left( {1;\,2;\, - 2} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right),{\rm{ }}B\left( {3;4;0} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right):ax + by + cz + 46 = 0\). Biết rằng khoảng cách từ \(A\) và \(B\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lần lượt bằng \(6\) và \(3\). Giá trị của biểu thức \(T = a + b + c\) bằng

Xét \(A,B\) là hai biến cố của một sự kiện. Trong các công thức sau, công thức nào đúng?

Một viên bi có dạng hình cầu, đường kính 2 cm được cắt thành hai phần bởi một mặt phẳng như hình vẽ. Biết rằng diện tích phần mặt cắt trên viên bi là \(S = \frac{{3\pi }}{4}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\). Tính thể tích của phần nhỏ hơn của viên bi

Một hộ gia đình sản xuất chăn mùa đông mỗi ngày sản xuất đươc x chiếc \(\left( {0 \le x \le 20} \right)\). Chi phí biên để sản xuất x chiếc chăn (tính bằng nghìn đồng) cho bởi hàm số sau \(C'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 10\). Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là 500 nghìn đồng. Giả sử gia đình này bán hết chăn mỗi ngày với giá 270 nghìn đồng/ chiếc chăn. Tính lợi nhuận tối đa theo đơn vị nghìn đồng mà gia đình đó thu được?

Cho hai biến cố \(A,B\) thỏa mãn \(P\left( A \right) = 0,4;P\left( B \right) = 0,3;P\left( {A|B} \right) = 0,25\). Khi đó \(P\left( {B|A} \right)\) bằng

Trong một buổi sinh hoạt ngoại khóa, các học sinh lớp 11A được xếp thành một vòng tròn, đứng cách đều nhau và đánh số thứ tự theo chiều kim đồng hồ. Biết rằng bạn An có số thứ tự là 5, bạn đứng đối diện với An có số thứ tự là 13. Hỏi lớp 11A có bao nhiêu học sinh tham gia buổi sinh hoạt?

Có 6 bạn \(A,B,C,D,E,F\) ngồi quanh một bàn tròn. Biết rằng D ngồi cạnh A và E, C ngồi cạnh E nhưng không ngồi cạnh F. Hỏi F ngồi cạnh ai?