Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 29

Gọi \(A\left( {m;n} \right)\).

Do \(A\) di động trên đường tròn \({\left( {x - 6} \right)^2} + {y^2} = 25\) nên \({\left( {m - 6} \right)^2} + {n^2} = 25\).

Do \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), gọi \(G\left( {u;v} \right)\), khi đó

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{u = {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{m + 1 + 5}}{3} = \frac{{m + 6}}{3}}\\{v = {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{n + 5 + 4}}{3} = \frac{{n + 9}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3u - 6}\\{n = 3v - 9}\end{array}} \right.} \right.\).

Do \({\left( {m - 6} \right)^2} + {n^2} = 25 \Rightarrow {\left( {3u - 12} \right)^2} + {\left( {3v - 9} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {\left( {u - 4} \right)^2} + {\left( {v - 3} \right)^2} = \frac{{25}}{9}\) .

\( \Rightarrow G\) di động trên đường tròn tâm \(I\left( {4;3} \right)\), bán kính \(R = \frac{5}{3}\).

Vậy \(a + b = 3 + 4 = 7\). Chọn B.

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 9 \cdot {10^5}\).

Gọi \(a\) là số có tích các chữ số bằng 1400.

A là biến cố "chọn được một số có tích các chữ số bằng 1400 từ \(S\)".

Ta có: \(1400 = 7 \cdot {5^2} \cdot {2^3}\). Do đó, \(a\) phải được cấu tạo từ 6 chữ số:

Trường hợp 1: \(\left\{ {7;5;5;2;2;2} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2! \cdot 3!}} = 60\).

Trường hợp 2: \(\left\{ {7;5;5;1;1;8} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2! \cdot 2!}} = 180\).

Trường hợp 3: \(\left\{ {7;5;5;1;4;2} \right\}\). Khi đó, số lượng các số a là: \(\frac{{6!}}{{2!}} = 360\).

Xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{60 + 180 + 360}}{{9 \cdot {{10}^5}}} = \frac{1}{{1500}}\). Chọn D.

Ta có \({\left( {x + 3} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3} \cdot 3 + 6{x^2} \cdot {3^2} + 4x \cdot {3^3} + {3^4}\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^2}\) là \(6 \cdot {3^2} = 54\).

Đáp án cần nhập là: \(54\).

Đường tròn \(\left( C \right)\)có tâm \(I\left( {1;1} \right)\), \(r = 2\).

Để đường thẳng \(d\) cắt đường tròn \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt.

Khi đó: \(0 \le d\left( {I,d} \right) < 2 \Leftrightarrow 0 \le \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} < 2\) \( \Leftrightarrow 2 - 2\sqrt 2  < m < 2 + 2\sqrt 2 \).

Xét \(\Delta IAB\) có \({S_{\Delta AIB}} = \frac{1}{2} \cdot IA \cdot IB \cdot \sin \widehat {AIB} = \frac{1}{2} \cdot {R^2} \cdot \sin \widehat {AIB} \le \frac{1}{2}{R^2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\sin \widehat {AIB} = 1 \Leftrightarrow \widehat {AIB} = 90^\circ  \Rightarrow AB = 2\sqrt 2 \).

Suy ra\(d\left( {I,d} \right) = \sqrt 2  \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 - m} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị nguyên của m. Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục hoành là: \(3{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + {m^2} - 5m - 6 = 0\) (*).

Để \(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm nằm khác phía đối với trục tung thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

\( \Leftrightarrow ac < 0 \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 5m - 6} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 1 < m < 6\).

Vậy có 6 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(6\).

Ta có \(\left( {{5^b} - 1} \right)\left( {a \cdot {2^b} - 5} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\).

Trường hợp 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 < 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b < 0}\\{b > {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Để ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn bất phương trình đã cho, thì \( - 3 \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right) <  - 2 \Leftrightarrow \frac{1}{8} \le \frac{5}{a} < \frac{1}{4} \Leftrightarrow 20 < a \le 40\).

Mà \(a\) là số nguyên dương nên có 20 giá trị của \(a\) thỏa yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{5^b} - 1 > 0}\\{a \cdot {2^b} - 5 < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b > 0}\\{b < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\).

Để ứng với mỗi \(a\) có đúng hai số nguyên \(b\) thỏa mãn bất phương trình đã cho, thì \(2 < {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {\frac{5}{a}} \right) \le 3 \Leftrightarrow 4 \le \frac{5}{a} < 8 \Leftrightarrow \frac{5}{8} < a \le \frac{5}{4}\).

Mà \(a\) là số nguyên dương nên có 1 giá trị của \(a\) thỏa yêu cầu bài toán.

Vậy có 21 giá trị của a thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(21\).

Gọi công bội của cấp số nhân đã cho là \(q\).

Có \(\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1}}} > 1 \Leftrightarrow {q^3} > 1 \Leftrightarrow q > 1\).

Có \({u_3},{u_5},{u_6}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng \( \Leftrightarrow {u_3} + {u_6} = 2{u_5}\)

\( \Leftrightarrow {u_3} + {u_3}{q^3} = 2{u_3}{q^2} \Leftrightarrow {u_3}\left( {{q^3} - 2{q^2} + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {q^3} - 2{q^2} + 1 = 0\) (do \(\left. {{u_n} \ne 0} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {q - 1} \right)\left( {{q^2} - q - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{q = 1}\\{q = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}\\{q = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\). Vì \(q > 1\) nên \(q = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

Khi đó, ta có \(S = \frac{{{u_7} - {u_6}}}{{{u_5}}} = \frac{{{u_5}\left( {{q^2} - q} \right)}}{{{u_5}}} = {q^2} - q = 1\). Chọn B.

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{sin}}x \ne 0}\\{{\rm{cos}}x \ne 0}\end{array}} \right.\).

\(\frac{{2{\rm{sin}}x}}{{{\rm{cot}}x}} - \frac{{{\rm{tan}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right) \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - {\rm{tan}}x{\rm{cot}}x\) \( = 2\left( {{\rm{sin}}x - {\rm{cos}}x} \right){\rm{sin}}x{\rm{cot}}x\)

\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 1 = 2\left( {\sin x - \cos x} \right)\cos x \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - 1 = 2\sin x{\rm{cos}}x - 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 1 = {\rm{sin}}2x \Leftrightarrow {\rm{sin}}2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đối chiếu điều kiện, nghiệm phương trình là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 1}\end{array} \Rightarrow P = 2a + 3b = 2 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 11} \right.\).

Đáp án cần nhập là: \(11\).