Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 19

Không gian mẫu: \(\Omega  = C_{12}^4 \cdot C_8^4 \cdot C_4^4\).

Vì mỗi bạn được 4 phần quà và đều có cả 2 loại quà nên có một bạn có 2 phần quà loại I.

Giả sử:

Bạn thứ nhất có 1 phần quà loại I và 3 phần quà loại II: \(C_4^1 \cdot C_8^3\).

Bạn thứ hai có 1 phần quà loại I và 3 phần quà loại II: \(C_3^1 \cdot C_5^3\).

Bạn thứ ba có 2 phần quà loại I và 2 phần quà loại II: \(C_2^2 \cdot C_2^2\).

Vậy \[P(A) = \frac{{3 \cdot C_4^1 \cdot C_8^3.C_3^1 \cdot C_5^3 \cdot C_2^2 \cdot C_2^2}}{{C_{12}^4 \cdot C_8^4 \cdot C_4^4}} = \frac{{32}}{{55}} \approx 0,58\].

Đáp án cần nhập là: \(0,58\).

Theo tính chất đường phân giác trong ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6; - 2;4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {14} \); \(\overrightarrow {BC}  = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {14} \)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt {14} }} = 2\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA}  =  - 2\overrightarrow {DC} \).

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {DA}  = \left( {3 - x;1 - y; - 2 - z} \right)\); \(\overrightarrow {DC}  = \left( { - 1 - x; - y; - 1 - z} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {DA}  =  - 2\overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x = 2 + 2x}\\{1 - y = 2y}\\{ - 2 - z = 2 + 2z}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{y = \frac{1}{3}}\\{z = \frac{{ - 4}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy điểm \(D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\). Chọn B.

Để một người dùng điện thoại ở vị trí \(M\left( {m - 120;m + 170;m} \right)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 1000 m được đặt ở vị trí \(I\left( {100;50;550} \right)\) thì \(IM \le 1000\)

\( \Leftrightarrow I{M^2} \le {1000^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m - 120 - 100} \right)^2} + {\left( {m + 170 - 50} \right)^2} + {\left( {m - 550} \right)^2} \le {1000^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m - 220} \right)^2} + {\left( {m + 120} \right)^2} + {\left( {m - 550} \right)^2} \le {1000^2}\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 1300m - 634700 \le 0\)

\( \Leftrightarrow  - 291,77 \le m \le 725,11\)

Ta có: \(a,b\) lần lượt là giá trị nguyên lớn nhất và giá trị nguyên nhỏ nhất của \(m\)

Nên \(a = 725\) và \(b =  - 291\).

Vậy \(P = a + 2b = 725 + 2 \cdot \left( { - 291} \right) = 143\). Chọn A.

Dựa vào bảng xét dấu ta có hàm số có 4 điểm cực trị. Chọn B.

Ta có: \(P = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y \Leftrightarrow {x^2} + 2{y^2} - 2xy + y - P = 0\) và ta coi đây là một hàm số bậc hai ẩn \(x\).

\( \Rightarrow \) Để tồn tại nghiệm thì \({\rm{\Delta }} = 4{y^2} - 4\left( {2{y^2} + y - P} \right) \ge 0\) có nghiệm.

\( \Leftrightarrow  - 4{y^2} - 4y + 4P \ge 0\) có nghiệm

\( \Leftrightarrow {{\rm{\Delta }}_y} = 16 - 4\left( { - 4} \right)\left( {4P} \right) = 16 + 64P \ge 0\)

\( \Leftrightarrow P \ge  - \frac{1}{4}\). Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \( - \frac{1}{4}\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{b = 4}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow a + b = 5\).Chọn A.

\(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{63}} = 1\) nên \(a = \sqrt {144}  = 12;b = \sqrt {63}  = 3\sqrt 7 \).

Gọi \(F,F'\) là các tiêu điểm của \(\left( E \right)\).

Khi đó \(MF + MF' = 2a = 2 \cdot 12 = 24\). Chọn A.

Ta có \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)}\\{x = {x_2} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{x = {x_3} \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\)

Khi đó: \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) - 1 = {x_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = {x_2} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{f\left( x \right) - 1 = {x_3} \in \left( {1;2} \right)}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{f\left( x \right) = 1 + {x_1} \in \left( { - 1;0} \right)}\\{f\left( x \right) = 1 + {x_2} \in \left( {0;1} \right)}\\{f\left( x \right) = 1 + {x_3} \in \left( {2;3} \right)}\end{array}} \right.\)

+ Ta thấy hai phương trình \(f\left( x \right) = 1 + {x_1} \in \left( { - 1;0} \right);f\left( x \right) = 1 + {x_2} \in \left( {0;1} \right)\) đều có ba nghiệm phân biệt.

Phương trình \(f\left( x \right) = 1 + {x_3} \in \left( {2;3} \right)\) có một nghiệm.

Vậy phương trình \(f\left( {f\left( x \right) - 1} \right) = 0\) có 7 nghiệm. Chọn C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 7}\\{{x^2} + 2x + 2m \ne 0}\end{array}} \right.\)

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}y=\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}\left(\frac{\sqrt{x+7}}{x^2+2x+2m}\right)=0\Rightarrow y=0$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Hàm số không có tiệm cận xiên.

Suy ra để hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình \({x^2} + 2x + 2m = 0\) có đúng 1 nghiệm lớn hơn  −7 (1)

Xét (1): \({x^2} + 2x + 2m = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{1}{2}{x^2} - x\)

Đặt \(f\left( x \right) =  - \frac{1}{2}{x^2} - x\)

Để phương trình \({x^2} + 2x + 2m = 0\) có đúng 1 nghiệm lớn hơn −7 thì đường thẳng \(y = m\) giao đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tại đúng 1 điểm có hoành độ lớn hơn −7 (2).

Ta có: \(f'\left( x \right) =  - x - 1\)

\(f'\left( x \right) = 0{\rm{\;}} \Rightarrow x =  - 1\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (2) \( \Leftrightarrow m \le  - 17,5\)

Mà \(m >  - 50,m \in \mathbb{Z}\)\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 49; - 48; - 47; \ldots ; - 18} \right\}\)

Vậy có \(32\) giá trị\(m\)thỏa mãn. Chọn D.