Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 35)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2} \right)\)

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2} \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( {{x^2} + 2} \right) = 0}\\{2x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2 = 0}\\{{x^2} + 2 = \frac{1}{2}}\\{{x^2} + 2 = 1}\\{{x^2} + 2 = 3}\\{2x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 1}\\{x = 0}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Bảng xét dấu kết hợp bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\)

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2}} \right)\)

\[g'(x) = 2x.f'\left( {{x^2}} \right),g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x.{\left( {{x^2}} \right)^2}\left( {{x^2} - 9} \right){\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0\]

\[ \Rightarrow 2{x^5}(x - 3)(x + 3){(x - 2)^2}{(x + 2)^2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 3}\\{x = - 3}\\{x = 2}\\{x = - 2}\end{array}} \right.\]

Hai nghiệm \(x = 2,x = - 2\) là nghiệm kép nên \(g'\left( x \right)\) không đổi dấu khi x đi qua hai điểm này

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 3;0} \right);\left( {3; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

\(y' = \frac{{{{\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}.\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|}} = \frac{{\left( {3{x^2} + {2^x}.{\rm{ln}}2 + 6x} \right).\left( {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right)}}{{\left| {{x^3} + {2^x} + 3{x^2}} \right|}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) + {m^2} + 2\)

\(g'\left( x \right) = \left( {2{\rm{sin}}x.{\rm{cos}}x + 3{\rm{cos}}x} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) = {\rm{cos}}x\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right)\)

\(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x\left( {2{\rm{sin}}x + 3} \right)f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x - m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\).

Theo giả thiết: \(f'\left( x \right) = - {x^2} - 2x + 3 \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 1}\\{x \le - 3}\end{array}} \right.\), ta có:

\[f'\left( {{{\sin }^2}x + 3\sin x - m} \right) \le 0,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x + 3\sin x - m \ge 1,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\\{\sin ^2}x + 3\sin x - m \le - 3,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x \ge m + 1,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)}\\{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x \le m - 3,\forall x \in \left( {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right)}\end{array}} \right.\) (1)

Xét hàm số \(u\left( x \right) = {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x + 3{\rm{sin}}x\) trên \(\left[ {\frac{{2\pi }}{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\), ta có

, do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 3 \ge \frac{{3 + 6\sqrt 3 }}{4}}\\{m + 1 \le \frac{7}{4}}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \frac{{15 + 6\sqrt 3 }}{4}}\\{m \le \frac{3}{4}}\end{array}} \right.} \right.\)

Kết hợp với \(m \in \mathbb{Z}\) và thuộc \(\left[ { - 10;10} \right]\) ta được \(m \in \left\{ { - 10, - 9, \ldots ,0,7, \ldots ,10} \right\}\).

Vậy có 15 số nguyên \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi nghiệm tử số và mẫu số không trùng nhau

Lời giải

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì \(f\left( x \right) = {x^2} + mx + n = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( 1 \right) \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2 + n \ne 0}\\{1 - n > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n \ne - 3}\\{n < 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Khi đó phương trình \({x^2} + 2x + n = 0\) có hai nghiệm \(x = {x_1},x = {x_2}\)

Theo hệ thức Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2}\\{{x_1}.{x_2} = n}\end{array}} \right.\)

Theo bài ra: \({x_1} - {x_2} = 5\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} - {x_2} = 5}\\{{x_1} + {x_2} = - 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{3}{2}}\\{{x_2} = \frac{{ - 7}}{2}}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow {x_1}.{x_2} = n \Leftrightarrow \frac{3}{2}.\frac{{\left( { - 7} \right)}}{2} = \frac{{ - 21}}{4}\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Lời giải

Xét bất phương trình \(3{\rm{si}}{{\rm{n}}^3}x - 5{\rm{sin}}3x - 36{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 15{\rm{sin}}x + 36 + 24m \ge 0\)

\[3{\sin ^3}x - 5\left( {3\sin x - 4{{\sin }^3}x} \right) - 36\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 15\sin x + 36 + 24m \ge 0\]

\[3{\sin ^3}x - 15\sin x + 20{\sin ^3}x - 36 + 36{\sin ^2}x - 15\sin x + 36 + 24m \ge 0\]

\[ \Leftrightarrow 23{\sin ^3}x + 36{\sin ^2}x - 30\sin x + 24m \ge 0\]

Đặt \(t = {\rm{sin}}x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Bất phương trình trở thành: \(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0\)

Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì bất phương trình

\(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

\(23{t^3} + 36{t^2} - 30t + 24m \ge 0 \Leftrightarrow 23{t^3} + 36{t^2} - 30t \ge - 24m \Leftrightarrow \frac{{ - 23}}{{24}}{t^3} - \frac{{36}}{{24}}{t^2} + \frac{{30}}{{24}}t \le m\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{ - 23}}{{24}}{t^3} - \frac{3}{2}{t^2} + \frac{5}{4}t\),

\(f'\left( t \right) = - \frac{{23}}{8}{t^2} - 3t + \frac{5}{4},f'\left( t \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{\sqrt {374} - 12}}{{23}}}\\{t = \frac{{ - \sqrt {374} - 12}}{{23}} \notin \left[ { - 1;1} \right]}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Để

Mà \(m \in \mathbb{Z},m \in \left[ { - 5;5} \right]\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Xác định hệ số góc của hai tiếp tuyến tại giao điểm với trục \(Ox\)

Lời giải

Điều kiện xác định: \(x \ne \left\{ {\frac{m}{2}} \right\}\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\frac{{{x^2} + 2x - m + 5}}{{2x - m}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 2x - m + 5 = 0\) (1)

Để \(\left( {Cm} \right)\) cắt \(Ox\) tại hai điểm phân biệt \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {\frac{m}{2}} \right)}^2} + 2.\frac{m}{2} - m + 5 \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{m^2}}}{4} + m - m + 5 \ne 0}\\{1 - \left( { - m + 5} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{m^2}}}{4} + 5 \ne 0}\\{m > 4}\end{array} \Rightarrow m > 4} \right.} \right.\)

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn hệ thức Viet:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - m + 5}\end{array}} \right.\) (*)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( {{\rm{Cm}}} \right)\) tại \(x = {x_1}\) và \(x = {x_2}\) có dạng:

\(d:y = y'\left( {{x_1}} \right).\left( {x - {x_1}} \right) + y\left( {{x_1}} \right)\) và \({\rm{\Delta }}:y = y'\left( {{x_2}} \right).\left( {x - {x_2}} \right) + y\left( {{x_2}} \right)\)

Để hai tiếp tuyến song song với nhau \( \Rightarrow y'\left( {{x_1}} \right) = y'\left( {{x_2}} \right)\) (2)

\[ \Rightarrow \frac{{ - 2x_1^2 + 2m{x_1} - m - 10}}{{{{\left( {2{x_1} - m} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2x_2^2 + 2m{x_2} - m - 10}}{{{{\left( {2{x_2} - m} \right)}^2}}}\]

\[ \Leftrightarrow \left( { - 2x_1^2 + 2m{x_1} - m - 10} \right){\left( {2{x_2} - m} \right)^2} = \left( { - 2x_2^2 + 2m{x_2} - m - 10} \right){\left( {2{x_2} - m} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - x_2^2} \right)( - 6m - 40) + \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {2{m^3} - 4{m^2}} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)( - 6m - 40) + 2{m^3} - 4{m^2}} \right] = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} - {x_2} = 0}\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)( - 6m - 40) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0}\end{array}} \right.\]

Trường hợp 1: \({x_1} - {x_2} = 0\)

Kết hợp với hệ phương trình (*) ta có \(:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} =  - 2}\\{{x_1}.{x_2} =  - m + 5}\\{{x_1} - {x_2} = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} =  - 1}\\{{x_2} =  - 1}\\{ - m + 5 = 1}\end{array} \Rightarrow m = 4} \right.} \right.\) (loại)

Trường hợp 2:

\(\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( { - 6m - 40} \right) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {6m + 40} \right) + 2{m^3} - 4{m^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow 2{m^3} - 4{m^2} + 6m + 40 = 0\)

\( \Rightarrow m \approx  - 1,91\)

Mà \(m > 4\)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Đáp án đúng là "-45"

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm, nhẩm nghiệm và ứng dụng hệ thức Viet để giải

Lời giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\[{x^3} - (m + 2){x^2} + 3mx - 6 =  - 2{x^2} - 7x + 2m\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - (m + 2){x^2} + 3mx - 6 + 2{x^2} + 7x - 2m = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} - 2{x^2} + 3mx - 6 - 2{x^2} + 7x - 2m = 0\]

\[ \Leftrightarrow {x^3} - m{x^2} - 4{x^2} + 3mx + 7x - 2m - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {{x^3} - 4{x^2} + 7x - 6} \right) + m\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 2)\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) - m(x - 1)(x - 2) = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x - 2)\left( {{x^2} - 2x + 3 - m(x - 1)} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{{x^2} - (2 + m)x + 3 + m = 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{{x^2} - (2 + m)x + 3 + m = 0}\end{array}} \right.\]

Để hai đồ thị hàm số cắt nhau tại ba điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 3 nghiệm phân biệt.

\( \Rightarrow \) phương trình \({x^2} - \left( {2 + m} \right)x + 3 + m = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4 - 2\left( {2 + m} \right) + 3 + m \ne 0}\\{{{(2 - m)}^2} - 4\left( {3 + m} \right) > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 3}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 4 - 2\sqrt 6 }\\{m > 4 + 2\sqrt 6 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right.\) (1)

Khi đó phương trình \({x^2} - \left( {2 + m} \right)x + 3 + m = 0\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2 + m}\\{{x_1}.{x_2} = 3 + m}\end{array}} \right.\)

Theo bài ta có: \({x_1}^3 + {x_2}^3 + {x_3}^3 \le 43 \Leftrightarrow {x_1}^3 + {x_2}^3 + 8 \le 43\)

\[ \Rightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {x_1^2 - {x_1}.{x_2} + x_2^2} \right) \le 35 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}.{x_2}} \right] \le 35\]

\[ \Leftrightarrow (2 + m)\left[ {{{(2 + m)}^2} - 3.(3 + m)} \right] \le 35\]

\[ \Leftrightarrow {m^3} + 3{m^2} - 3m - 45 \le 0\]

\[ \Rightarrow m \le 3\]

Kết hợp các điều kiện ta có \(m \in \left( { - 10;4 - 2\sqrt 6 } \right)\) mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 9; - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}\)

Vậy tổng các phần tử của \(S\) là: -45