Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 38)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Diện tích giới hạn bởi hai đường thẳng \(x = a,x = b\) và đồ thị của hai hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) (\(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\)) được tính bởi công thức

Lời giải

Giả sử: \(\left( C \right):y = 2{x^3} + a{x^2} - bx + c = f\left( x \right)\) và \(d:y = g\left( x \right)\)

Khi đó phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\)

Vî \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba và \(g\left( x \right)\) là hàm số bậc nhất (hoặc bậc 0) (vì \(d\) là đường thẳng) nên đa thức \(f\left( x \right) - g\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có hệ số của \({x^3}\) là 2 (hệ số của \({x^3}\) ở hàm số \(f\left( x \right)\)).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 0\) có nghiệm kép \(x = - 1\) và nghiệm đơn \(x = 2\).

Do đó: \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = 2{(x + 1)^2}\left( {x - 2} \right)\)

Diện tích hình phẳng bởi \(d\) và \(\left( C \right)\) là:

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng khoảng cách giữa hai điểm trong không gian.

Lời giải

Để một người dùng điện thoại ở vị trí \(M\left( {m - 120;m + 170;m} \right)\) có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 1000 m được đặt ở vị trí \(I\left( {100;50;550} \right)\) thì \(IM \le 1000\)

\( \Leftrightarrow I{M^2} \le {1000^2}\)

\( \Leftrightarrow {(m - 120 - 100)^2} + {(m + 170 - 50)^2} + {(m - 550)^2} \le {1000^2}\)

\( \Leftrightarrow {(m - 220)^2} + {(m - 120)^2} + {(m - 550)^2} \le {1000^2}\)

\( \Leftrightarrow 3{m^2} - 1300m - 634700 \le 0\)

\( \Leftrightarrow - 291,77 \le m \le 725,11\)

Ta có: \(a,b\) lần lượt là giá trị nguyên lớn nhất và giá trị nguyên nhỏ nhất của \(m\)

Nên \(a = 725\) và \(b = - 291\).

Vậy \(P = a + 2b = 725 + 2.\left( { - 291} \right) = 143\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Áp dụng kiến thức về các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Lời giải

Hàm số xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge - 7}\\{{x^2} + 2x + 2m \ne 0}\end{array}} \right.\)

Ta có  là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Hàm số không có tiệm cận xiên.

Suy ra để hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì phương trình \({x^2} + 2x + 2m = 0\) có đúng 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -7 (2)

Xét (1): \({x^2} + 2x + 2m = 0 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}{x^2} - x\)

Đặt \(f\left( x \right) = - \frac{1}{2}{x^2} - x\)

Để phương trình \({x^2} + 2x + 2m = 0\) có đúng 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng -7 thì đường thẳng \(y = m\) giao đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tại đúng 1 điểm có hoành độ lớn hơn hoặc bằng -7 (2)

Ta có: \(f'\left( x \right) = - x - 1\)

\(f'\left( x \right) = 0{\rm{\;}} \Rightarrow x = - 1\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\):

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (2) \( \Leftrightarrow m \le - 17,5\)

Mà \(m > - 50,m \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow m \in \left\{ { - 49; - 48; - 47; \ldots ; - 18} \right\}\)

Vậy có \(\frac{{\left( { - 18} \right) - \left( { - 49} \right)}}{1} + 1 = 32\) giá trị \(m\) thỏa mãn ycbt.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng mối liên hệ của ba số liền nhau trong một cấp số cộng. Sử dụng kiến thức về tổ hợp và xác suất có điều kiện.

Lời giải

Gọi \(a,b,c\) là ba số cần tìm theo thứ tự lập thành cấp số cộng \(\left( {a,b,c \in A} \right)\)

Suy ra có \(b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b\).

\( \Rightarrow \) Tổng \(\left( {a + c} \right)\) là số chẵn, và khi có \(\left( {a + c} \right)\) là số chẵn thì chỉ có duy nhất 1 giá trị \(b\) thỏa mãn.

Tập hợp \(A = \left\{ {10;11;12; \ldots ;48;49;50} \right\}\) có 41 phần tử gồm 21 phần tử số chăn và 20 phần tử số lẻ.

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{41}^3\)

TH1: \(a,c\) là các số chẵn có \(C_{21}^2\) cách chọn.

TH2: \(a,c\) là các số lẻ có \(C_{20}^2\)

\( \Rightarrow \) Số cách lấy ngẫu nhiên ba số từ tập hợp \(A\) lập được thành cấp số cộng là

\(n\left( A \right) = C_{21}^2 + C_{20}^2\)

Vây xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_{21}^2 + C_{20}^2}}{{C_{41}^3}} = \frac{{20}}{{533}}\)

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về tiệm cận của đồ thị hàm số.

Lời giải

 nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

 nên \(x = 3;x =  - 3\) là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có tổng 3 đường tiệm cận ngang và đứng.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về cực trị của hàm số.

Lời giải

Ta có: \(y' = 4{x^3} - 4\left( {m - 3} \right)x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4\left( {m - 3} \right)x = 0 \Leftrightarrow 4x\left[ {{x^2} - \left( {m - 3} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = m - 3}\end{array}} \right.\)

Để hàm số có 3 cực trị thì \(m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > 3\) (1)

Khi đó các điểm cực trị của hàm số là \(x = 0;x = \sqrt {m - 3} ;x = - \sqrt {m - 3} \).

Để các giá trị cực trị của hàm số đều mang giá trị âm thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y\left( 0 \right) < 0}\\{y\left( {\sqrt {m - 3} } \right) < 0}\\{y\left( { - \sqrt {m - 3} } \right) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 1 < 0}\\{{{(m - 3)}^2} - 2\left( {m - 3} \right)\left( {m - 3} \right) + 2m - 1 < 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 1 < 0}\\{ - {{(m - 3)}^2} + 2m - 1 < 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 1 < 0}\\{ - {m^2} + 8m - 10 < 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < \frac{1}{2}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m < 4 - \sqrt 6 }\\{m > 4 + \sqrt 6 }\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta được \(m \in \emptyset \)

Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn ycbt.

Đáp án đúng là \({\bf{B}}\)

Phương pháp giải

Để tạo ra được một tam giác ta cần ba điểm phân biệt không thẳng hàng.

Lời giải

Chia khối lập phương cạnh 2 cm thành 8 khối lập phương cạnh 1 cm ta có tất cả 27 điểm.

Chọn 3 điểm bất kì trong 27 điểm ta có \(C_{27}^3\) cách.

Có tất cả số bộ 3 điểm thẳng hàng là \(8.2 + 6.2 + 4.2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 2 = 49\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về biến đổi phương trình logarit

Lời giải

Điều kiện: \( - 4 < x < 4\) và \(x \ne - 1\).

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}{(x + 1)^2} + 2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x} + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{(4 + x)^3}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {4\left| {x + 1} \right|} \right) = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left[ {\left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 - {x^2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{4\left( {x + 1} \right) = 16 - {x^2}}\\{4\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 16}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 4x - 12 = 0}\\{{x^2} - 4x - 20 = 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 6}\\{x = 2 + 2\sqrt 6 }\\{x = 2 - 2\sqrt 6 }\end{array}} \right.\).

Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = 2 - 2\sqrt 6 \).