Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 30

Diện tích rừng để đạt được tỷ lệ che phủ \(45{\rm{\% }}\) là: \(\frac{{140600 \cdot 45}}{{39,8}} \approx 159000{\rm{ha}}\).

Vậy cần phải che phủ thêm \(159000 - 140600 = 18400\) ha.

Do mỗi năm diện tích rừng trồng mới của tỉnh đều tăng \(6{\rm{\% }}\) so với diện tích rừng trồng mới của năm liền trước nên diện tích rừng trồng mới tăng thêm sau \(n\) năm là:

\({S_n} = 1000 \cdot \left( {{{\left( {1,06} \right)}^1} + {{\left( {1,06} \right)}^2} + {{\left( {1,06} \right)}^3} +  \ldots  + {{\left( {1,06} \right)}^n}} \right) = 1000 \cdot \frac{{1,06 \cdot \left( {1 - {{\left( {1,06} \right)}^n}} \right)}}{{1 - 1,06}}\)

Theo giả thiết ta có: \(1000 \cdot \frac{{1,06 \cdot \left( {1 - {{\left( {1,06} \right)}^n}} \right)}}{{1 - 1,06}} = 18400\)

\( \Rightarrow 1 - {\left( {1,06} \right)^n} =  - \frac{{276}}{{265}} \Rightarrow {\left( {1,06} \right)^n} = \frac{{541}}{{265}} \Rightarrow n = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_{1,06}}\frac{{541}}{{265}} \approx 13\).

Sau 13 năm thì diện tích rừng thành phố \(X\) đạt tỷ lệ che phủ \(45{\rm{\% }}\).

Vậy đến năm 2035 thỉ tỷ lệ che phủ rừng của thành phố X đạt \(45{\rm{\% }}\). Chọn C.

Xét đồ thị hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x + m} \right)\). Đồ thị này đi qua điểm \(\left( {0;0} \right)\) và \(\left( {3;2} \right)\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}m}\\{2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {m + 3} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{2 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( 4 \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{a = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Xét đồ thị hàm số \(y = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}\left( {x + n} \right)\). Đồ thị này đi qua điểm \(\left( { - 2;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}\left( {n - 2} \right)}\\{1 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}\left( n \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 3}\\{1 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_b}\left( 3 \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 3}\\{b = 3}\end{array}.} \right.} \right.} \right.\)

Xét đồ thị hàm số \(y = {c^{x + p}}\). Đồ thị này đi qua điểm \(\left( {2;1} \right)\) và \(\left( {3;4} \right)\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 = {c^{2 + p}}}\\{4 = {c^{3 + p}}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{p =  - 2}\\{4 = {c^1}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{p =  - 2}\\{c = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Qua đó, ta thấy \(a < b < c\). Chọn A.

\({\rm{lim}}\frac{{{3^n} - {4^n} + {5^n}}}{{{3^n} + {4^n} - {5^n}}} = {\rm{lim}}\frac{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} - {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} + 1}}{{{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^n} + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n} - 1}} =  - 1\).

Đáp án cần nhập là: \( - 1\).

Ta có: \(d\left( {M,\left( {SAB} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {SAB} \right)} \right) = DA = a\). Chọn B.

Ta có \({P_A} = \frac{3}{7}{P_B}\)

\({h_A} - {h_B} =  - 19,4\log \frac{{{P_A}}}{{{P_0}}} + 19,4\log \frac{{{P_B}}}{{{P_0}}} =  - 19,4 \cdot \log \frac{{\frac{{{P_A}}}{{{P_0}}}}}{{\frac{{{P_B}}}{{{P_0}}}}} =  - 19,4\log \frac{{{P_A}}}{{{P_B}}} =  - 19,4\log \frac{4}{7} \approx 4,71\).

Vậy điểm \(A\) cao hơn điểm \(B\) \(4,71{\rm{\;km}}\). Chọn D.

Theo giả thiết \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right),\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right)\)

và \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {SBA} = 60^\circ \).

Mặt phẳng qua \(SM\) và song song với \(BC\), cắt \(AC\) tại \(N\) thì \(MN//BC\) với \(N\) là trung điểm của \(AC\).

Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(d\) song song với \(AB\).

Gọi I là giao điểm của \(d\) và \(BC\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(NI,K\) là hình chiếu của \(A\) trên \(SH\).

Khi đó \(AK \bot \left( {SHN} \right) \Rightarrow AK = d\left( {A,\left( {SHN} \right)} \right)\).

\(AHIB\) là hình chữ nhật nên \(AH = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{2a}}{2} = a\).

Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \) nên \(\widehat {SBA} = 60^\circ \).

\(SA = AB \cdot \tan \widehat {SBA} = 2a \cdot {\rm{tan}}{60^ \circ } = 2a\sqrt 3 \).

Ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}}} \Rightarrow AK = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\).

Vì \(AB//\left( {SHN} \right)\) nên \(d\left( {AB,SN} \right) = d\left( {AB,\left( {SHN} \right)} \right) = dA,\left( {SHN} \right) = AK = \frac{{2a\sqrt {39} }}{{13}}\). Chọn A.

Gọi số hàng ghế ban đầu của hội trường là \(n\left( {n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)\).

Do số ghế mỗi dãy lập thành một cấp số cộng nên tổng số ghế trong hội trường là \(S = \frac{n}{2} \cdot \left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) = \frac{n}{2}\left( {2 \cdot 20 + 2\left( {n - 1} \right)} \right)\) (chiếc).

Nếu thêm một hàng ghế ở phía sau bằng cách lấy đi 4 chiếc ghế ở mỗi hàng thì số ghế ở hàng đầu tiên là 16, đồng thời có tổng cộng \(n + 1\) hàng ghế. Khi đó tổng số ghế trong hội trường là

$S=\frac{n+1}{2}\left(2u_1^{\text{'}}+\left(n+1-1\right)d\right)=\frac{n+1}{2}\left(2\cdot 16+2n\right)$

Cho \(\frac{n}{2}\left( {2n + 38} \right) = \frac{{n + 1}}{2}\left( {2n + 32} \right) \Leftrightarrow n = 8\), tức là ban đầu hội trường có 8 hàng ghế.

Khi đó, tổng số ghế trong hội trường là \(S = \frac{n}{2}\left( {2n + 38} \right) = \frac{8}{2}\left( {2 \cdot 8 + 38} \right) = 216\) (chiếc).

Đáp án cần nhập là: \(216\).