Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2026 có đáp án (Đề số 7)

Phương pháp giải.

Gọi tiếp điểm theo tham số, viết phương trình tiếp tuyến, lập phương trình diện tích tìm tham số thỏa mãn.

Giải chi tiết.

Ta có \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}} = 2 + \frac{5}{{x - 2}} \Rightarrow y' = - \frac{5}{{{{(x - 2)}^2}}}.\)

Gọi tiếp điểm là \(A\left( {a + 2,\;2 + \frac{5}{a}} \right).\)

Khi đó tiếp tuyến tại A có dạng \(y = - \frac{5}{{{a^2}}}(x - a - 2) + 2 + \frac{5}{a} = - \frac{{5x}}{{{a^2}}} + \frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}.\)

Tiếp tuyến cắt trục Oy tại \(E\left( {0,\;\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right),\)cắt trục Ox tại \(F\left( {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5},\;0} \right).\)

Diện tích tam giác OEF bằng \(\frac{1}{2}\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{{{a^2}}}} \right|\left| {\frac{{2{a^2} + 10a + 10}}{5}} \right| = \frac{2}{5}.\)

\( \Leftrightarrow {(2{a^2} + 10a + 10)^2} = 4{a^4}.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2{a^2} + 10a + 10 = 2a,}\\{2{a^2} + 10a + 10 = - 2a.}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1,}\\{a = - 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy có 2 giá trị của a thỏa mãn hay có 2 điểm thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Với hàm số \(y = f\left( x \right)\), tiếp tuyến tại điểm \(A\left( {{x_0},f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) có phương trình:

           \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\)

o   Giao điểm với trục hoành: \(x = {x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}\)

o   Giao điểm với trục tung:\(\;y = f\left( {{x_0}} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)\)

o   Diện tích tam giác \(OEF = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_E}} \right| \cdot \left| {{y_F}} \right|\;\)

·        Luôn nhớ diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến \( = \frac{1}{2} \cdot \left| {{x_0} - \frac{{f\left( {{x_0}} \right)}}{{f'\left( {{x_0}} \right)}}} \right| \cdot \left| {f\left( {x\_0} \right) - {x_0}f'\left( {{x_0}} \right)} \right|\)

·        Khi đề yêu cầu diện tích bằng số cụ thể, chỉ cần giải phương trình theo \({x_0}\)

Phương pháp giải.

Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho trước, từ đó suy ra giá trị của tham số.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(m \ne 0\)

\(f'(x) = - \frac{{3{x^2}}}{m} + 6mx\)

\(f''(x) = - \frac{{6x}}{m} + 6m,\quad f''(x) = 0 \Rightarrow x = {m^2}\)

Đồ thị hàm số (C) có điểm uốn \(I\left( {{m^2};\;2{m^5} - 1} \right)\)

Ta có: \(I \in (P) \Leftrightarrow 2{m^5} - 1 = 2{m^4} - 1\) \( \Leftrightarrow {m^4}(m - 1) = 0 \Rightarrow m = 1\)

Đáp án cần chọn là: C.

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Điểm uốn của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là nghiệm của \(f''\left( x \right) = 0\) và đổi dấu qua nghiệm đó.
Nếu yêu cầu điểm uốn nằm trên đường \(y = g\left( x \right)\), ta giải hệ:

 \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f''\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = g\left( x \right)}\end{array}} \right.\)

·        Luôn kiểm tra điều kiện đổi dấu của \(f''\left( x \right)\)

·        Khi gặp parabol \(y = a{x^2} + bx + c\), thay trực tiếp tọa độ điểm uốn vào để tìm tham số.

Phương pháp giải

Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên.

Giải chi tiết

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng: \(y = ax + b\quad (a \ne 0)\)

Ta có:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^3}}}{{x({x^2} - 1)}} = 1\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}} - x} \right) = 0\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: y=x

Đáp án cần chọn là: C

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Với hàm số hữu tỉ \(\frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}\):

o   Nếu \(deg\;P = deg\;Q + 1\), chia đa thức để tìm tiệm cận xiên: \(y = ax + b\).

o   Công thức: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\;\;,\;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( {f\left( x \right) - ax} \right)\;\)

·        Luôn thử chia đa thức trước, tránh tính giới hạn phức tạp.

·        Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu nhiều hơn 1 → không có tiệm cận xiên.

Phương pháp giải

Dùng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có: \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x\)

\( \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \le (9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}) - ({x^2}{y^2} + 2xyy + {y^2})\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) - \log (3{y^2} + y) \le {(3{y^2} + y)^2} - {(xy + y)^2}\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) + {(xy + y)^2} \le \log (3{y^2} + y) + {(3{y^2} + y)^2}\)

Xét hàm:\(f(t) = \log t + {t^2}\quad {\rm{voi }}t \in (0; + \infty )\)

\(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0,\;\forall t \in (0; + \infty )\)\( \Rightarrow f(t)\;{\rm{??ng bi?n tr\^e n }}(0; + \infty )\)

Vì $y\le 1000$ nên có các trường hợp sau:

\(y = 1 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \)

\(y = 2 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3;4;5;6\} \)

\(y = 1000 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3; \ldots ;3000\} \)

Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(3 + 6 + 9 + \cdots + 3000 = 1501500\)

Đáp án cần chọn là: D

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Khi đề cho bất đẳng thức dạng \(f\left( {x,y} \right)\backslash leq\;k\), ta thường:

o   Cố định một biến, đếm số giá trị biến còn lại.

o   Sử dụng hàm đặc trưng: số cặp = \(\mathop \sum \limits_y \;\)số giá trị \(x\) thỏa

·        Với bài HSA, thường cho giới hạn \(y \le \;N\). Hãy xét từng trường hợp biên.

·        Nếu bất đẳng thức có dạng \(\frac{x}{y} \le C\), đổi thành \(x \le \;Cy\) để dễ đếm.

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^2}\) để biến đổi phương trình về đa thức theo t.

Phân tích đa thức thành nhân tử (theo t).

Giải\({x^2} - y = 0\), đếm các nghiệm nguyên thỏa mãn\(0 \le y \le 100\).

Giải chi tiết

Ta biến đổi đa thức theo\({x^2}\). Đặt\(t = {x^2}\). Ta có

\({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} - 19{y^3} + 3{x^2} - 3y = ({x^2} - y)({x^4} + 7{x^2}y + 19{y^2} + 3).\)

Với \(0 \le y \le 100\) và y nguyên:

- Nếu \({x^2} - y = 0\,\)thì\(y = {x^2}\). Vì \(0 \le y \le 100\)nên \({x^2} \in \{ 0,1,4,9, \ldots ,100\} \Rightarrow x \in \{ 0, \pm 1, \pm 2, \ldots , \pm 10\} .\)

Các cặp thỏa điều kiện là \((0,0)\)và \(( \pm k,{k^2})\)với \(k = 1,2, \ldots ,10\).

- Có \({x^4} + 7{x^2}y + 19{y^2} + 3\) luôn dương khi \(y \ge 0\)nên không thể bằng 0.

Vậy chỉ có các cặp từ trường hợp (1).

Có\(1 + 2 \cdot 10 = 21\).

Giải chi tiết

Cô mặc áo dài xanh không phải cô An và cô Bình lại ngồi giữa cô mặc áo dài tím và cô Nhàn

⇒ loại phương án D

⇒ Cô mặc áo dài xanh là cô Giang

Cô mặc áo dài trắng thì ngồi giữa cô mặc áo dài hồng và cô Nhàn

⇒ Cô mặc áo dài tím là cô Bình, áo hồng là cô Nhàn và cô An mặc áo trắng

Đáp án cần chọn là: C

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Với bài toán logic dạng “ngồi quanh bàn tròn” hoặc “ai mặc áo màu gì”, ta thường dùng:
• Loại trừ: dựa vào điều kiện “không phải A, không phải B”.
• Xâu chuỗi: từ một điều kiện suy ra vị trí, rồi liên kết với điều kiện khác.
• Vẽ sơ đồ, đọc kỹ “ngồi giữa”, loại trừ nhanh.

Phương pháp giải

Tỉ số thể tích.

Giải chi tiết

\(\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{CMBD}}}} = \frac{{CN}}{{CB}} \cdot \frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{4}\quad (*)\), \(\frac{{{V_{CMBD}}}}{{{V_{SCBD}}}} = \frac{{BM}}{{BS}} = \frac{1}{2}\quad (**)\)

Lấy (*) và (**) ta được:

\(\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{1}{8}{V_{SBCD}}\)

Gọi H là trung điểm \(AD\) \( \Rightarrow SH \bot AD\) và \((SAD) \bot (ABCD)\) nên \(SH \bot (ABCD)\).

Do đó:\({V_{SBCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH\)

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên:\({S_{ABCD}} = {a^2}\)

Tam giác SAD đều cạnh a nên:\(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Suy ra: \({V_{SBCD}} = \frac{1}{3} \cdot {a^2} \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\)

Vậy: \({V_{CMNP}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

• Công thức tổng quát:

                                             \({V_{tudien}} = {V_{chop}} \cdot \frac{{{S_{daycon}}}}{{{S_{daylon}}}} \cdot \frac{{{h_{con}}}}{{{h_{lon}}}}\)

• Trung điểm → tỉ số 1/2, ưu tiên dùng tỉ số.

Phương pháp giải

Phân tích vectơ.

Giải chi tiết

Vẽ \(ME\parallel SA \Rightarrow ME \bot (ABCD)\)

Do đó\(DM \bot BN \Leftrightarrow DE \bot BN\). Đặt\(AN = xAD\).

Ta có: \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} \)

Vì \(BN \bot DE\) nên:

\(\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} } \right) \cdot \left( { - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 3xA{D^2} - A{B^2} + (3 + x)\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} = 0\)

Vì tam giác ABD đều nên:$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=AB\cdot AD\cdot \cos BAD=a\cdot a\cdot \cos {60}^{°}=\frac{a^2}{2}$

Suy ra:\( - 3a{x^2} - {a^2} + \frac{{{a^2}(3 + x)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} \Rightarrow AN = \frac{2}{5}AD\)

Đáp án cần chọn là: B

Mở rộng:

• Công thức tổng quát: Nếu thì N nằm trên AD với tỉ lệ \(AN:ND = k:1\)
• Đặt tham số cho điểm di động, chuyển điều kiện về vectơ/toạ độ.