ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định lượng - Bài toán về đồ thị hàm số bậc hai

Bề lõm của đồ thị quay xuống dưới nên hệ số a < 0.

Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung nằm trên trục có tung độ dương nên c >0

Hoành độ đỉnh \[x = - \frac{b}{{2a}} < 0\] Mà a < 0 nên b < 0.

Đáp án cần chọn là: D

Vì \[M,\,\,N \in (P)\] nên tọa độ của hai điểm M, N phải thỏa mãn phương trình của (P).

Do đó, ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 = a + b + 2}\\{ - 2 = 4a + 2b + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 5}\\{b = 8}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình của (P)là:\[y = - 5{x^2} + 8x + 2\]

Đáp án cần chọn là: A

(P) đi qua điểm A(3;−4) nên \[ - 4 = 9a + 3b - 5 \Leftrightarrow 9a + 3b = 1\].

Trục đối xứng \[x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{3}{2} \Leftrightarrow b = 3a\]

Suy ra hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9a + 3b = 1}\\{3a - b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{{18}}}\\{b = \frac{1}{6}}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình của (P)là:\[y = \frac{1}{{18}}{x^2} + \frac{1}{6}x - 5\]

Đáp án cần chọn là: A

Ta có đỉnh của (P)có tọa độ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{b}{{2a}} = 3}\\{y = 9a + 3b + 3 = - 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{6a + b = 0}\\{9a + 3b = - 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{5}{9}}\\{b = - \frac{{10}}{3}}\end{array}} \right.\)

Suy ra phương trình của Parabol (P)là:\[y = \frac{5}{9}{x^2} - \frac{{10}}{3}x + 3\]

Đáp án cần chọn là: D

\[2{x^2} - 2x + 1 - m = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x = m - 1\]

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của Parabol

\[\left( P \right):\,\,y = 2{x^2} - 2x\] và đường thẳng \[y = m - 1\]có tính chất song song với trục hoành.

Parabol (P) có tọa độ đỉnh \[\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{{\rm{\Delta }}}{{4a}}} \right) = \left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\]

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi

\[m - 1 >- \frac{1}{2} \Leftrightarrow m >\frac{1}{2}\]

Đáp án cần chọn là: A

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

\[y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\]với đường thẳng y = m có tính chất song song với trục hoành.

Ta có \[y = \mid {x^2} - 3x + 2\mid = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 3x + 2({x^2} - 3x + 2 \ge 0)}\\{ - {x^2} + 3x - 2({x^2} - 3x + 2 < 0)}\end{array}} \right.\]

Đồ thị hàm số \[y = \left| {{x^2} - 3x + 2} \right|\]được vẽ như sau:

+ Vẽ đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 3x + 2\]+ Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hoành qua trục hoành và xóa phần đồ thị dưới trục hoành đi.

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \[0 < m < \frac{1}{4}\]

Đáp án cần chọn là: B

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

\[y = \frac{1}{2}{x^2} - 4\left| x \right| + 3 = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{1}{2}{x^2} - 4x + 3(x \ge 0)}\\{\frac{1}{2}{x^2} + 4x + 3(x < 0)}\end{array}} \right.\]và đường thẳng \[y = {m^2}\]có tính chất song song với trục hoành.

Đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{2}{x^2} - 4\left| x \right| + 3\]được vẽ như sau :

+ Vẽ hai đồ thị hàm số trên cùng một hệ trục tọa độ.

+ Giữ nguyên nhánh bên phải trục tung của đồ thị hàm \[y = \frac{1}{2}{x^2} - 4x + 3\] và xóa nhánh bên trái trục tung.

+ Giữ nguyên nhánh bên trái trục tung của đồ thị hàm số \[y = \frac{1}{2}{x^2} + 4x + 3\] và xóa nhánh bên phải trục tung của đồ thị hàm số đó.

Dựa trên đồ thị ta thấy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\[{m^2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \]

Đáp án cần chọn là: C