Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 14)

Quãng đường đi được tại thời gian \(t\) là \(S = \int {\left( {3t + 2} \right)} \,dt = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t + c.\)

Mà \(S\left( 2 \right) = 10 \Rightarrow 6 + 4 + c = 10 \Rightarrow c = 0 \Rightarrow S\left( t \right) = \frac{{3{t^2}}}{2} + 2t.\)

Tại thời điểm \(t = 30\;{\rm{s}}\) thì vật đi được quãng đường là \(S\left( {30} \right) = \frac{{{{3.30}^2}}}{2} + 2 \cdot 30 = 1\,\,410\,\,(\;{\rm{m}}).\)

Đáp án cần nhập là: 1410.

Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu phanh là \({v_1}\left( 5 \right) = 35\,\,(\;{\rm{m}}/{\rm{s}}).\)

Vận tốc của chuyển động sau khi phanh là \({v_2}\left( t \right) = - 70t + c.\)

Do \({v_2}\left( 0 \right) = 35\,\,(\;{\rm{m}}/{\rm{s}}) \Rightarrow c = 35 \Rightarrow {v_2}\left( t \right) = - 70t + 35.\)

Khi xe dừng hẳn tức là: \({v_2}\left( t \right) = 0 \Rightarrow - 70t + 35 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}{\rm{. }}\)

Quãng đường \(S\,\,\left( m \right)\) đi được ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh cho đến khi dừng hẳn là

\[S\,\,\left( m \right) = \int\limits_0^5 {7t} \,dt + \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( { - 70t + 35} \right)} \,dt = 96,25\,\,(\;{\rm{m}})\]. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 2\)

\( \Rightarrow - \frac{c}{b} = 2 \Leftrightarrow c = - 2b\) và tiệm cận ngang \(y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\).

Ta có \[f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}} \Rightarrow f'\left( x \right) = \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\].

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty \,;\,\,2} \right)\) và \(\left( {2\,;\,\, + \infty } \right)\) nên ta có

\(y' > 0\,;\,\,\forall x \ne 2 \Leftrightarrow \frac{{ac - b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,;\,\,\forall x \ne 2\)

\( \Leftrightarrow ac - b > 0 \Leftrightarrow b.( - 2b) - b > 0 \Leftrightarrow - 2{b^2} - b > 0\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{2} < b < 0 \Rightarrow b < 0 \Rightarrow a < 0,\,\,c > 0.\)

Vậy trong ba số \[a,\,\,b,\,\,c\] có 1 số dương. Chọn C.

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{{f\left( {{x^2}} \right) - m}}\) có 4 đường tiệm cận đứng khi phương trình \(f\left( {{x^2}} \right) = m\) có 4 nghiệm \(x\) phân biệt.

Đặt \(t = {x^2}\,,\,\,t \ge 0.\)

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta thấy, phương trình \(f\left( t \right) = m\) có 2 nghiệm dương \(t\) phân biệt khi \( - 1 < m < 3\).

Với mỗi giá trị \(t > 0\) cho ta 2 giá trị đối nhau của \(x\), nên với điều kiện \( - 1 < m < 3\), phương trình \(f\left( {{x^2}} \right) = m\) có 4 nghiệm \(x\) phân biệt.

Do đó đồ thị hàm số \(y = \frac{3}{{f\left( {{x^2}} \right) - m}}\) có 4 tiệm cận đứng khi \( - 1 < m < 3\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}\).

Đáp án cần nhập là: 3.

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} = \frac{{61}}{6}\).

Đặt \(t = {x^2} + 3x + 1 \Rightarrow {\rm{d}}t = \left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x\).

Đổi cận: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.\].

Suy ra \(\frac{{61}}{6} = \int\limits_0^1 {f\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_1^5 {f\left( t \right)\,} dt = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)\,} dx.\) Chọn C.

Ta có \(\overrightarrow {OA} = \left( {0\,;\,\,2\,;\,\, - 2} \right),\,\,\overrightarrow {OB} = \left( {2\,;\,\,2\,;\,\, - 4} \right) \Rightarrow mp\left( {OAB} \right)\) có phương trình: \(x + y + z = 0\).

\(I \in \left( {OAB} \right) \Rightarrow a + b + c = 0.\)

\(\overrightarrow {AI} = \left( {a\,;\,\,b - 2\,;\,\,c + 2} \right),\,\,\overrightarrow {BI} = \left( {a - 2\,;\,\,b - 2\,;\,\,c + 4} \right),\,\,\overrightarrow {OI} = \left( {a\,;\,\,b\,;\,\,c} \right).\)

Ta có hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AI = BI}\\{AI = OI}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2} = {{\left( {a - 2} \right)}^2} + {{\left( {c + 4} \right)}^2}}\\{{{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( {c + 2} \right)}^2} = {b^2} + {c^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - c = 4}\\{ - b + c = - 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Ta có hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a - c = 4}\\{ - b + c = - 2}\\{a + b + c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 0}\\{c = - 2}\end{array}} \right.\].

Do đó \(I\left( {2\,;\,\,0\,;\,\, - 2} \right) \Rightarrow T = {a^2} + {b^2} + {c^2} = 8.\) Chọn A.

Ta có \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = \left( {a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + 2x} \right) - \left( {m{x^3} + n{x^2} - 2x} \right)\).

\[ \Rightarrow f\left( x \right) - g\left( x \right) = a{x^4} + \left( {b - m} \right){x^3} + \left( {c - n} \right){x^2} + 4x\].

\( \Rightarrow f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3\left( {b - m} \right){x^2} + 2\left( {c - n} \right)x + 4\).

Lại có \(y = f\left( x \right) - g\left( x \right) \Rightarrow y' = f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 4a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\).

Khi đó \(4a \cdot \left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = 24a = 4 \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}.\)

Hoành độ giao điểm của hai đường \(y = 18f'\left( x \right)\) và \(y = 18g'\left( x \right)\) là

\(18f'\left( x \right) = 18g'\left( x \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) - g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Do đó, diện tích hình phẳng cần tính là:

\[S = \int\limits_{ - 1}^3 {\left| {18f'\left( x \right) - 18g'\left( x \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = 18\int\limits_{ - 1}^3 {\left| {4 \cdot \frac{1}{6}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)} \right|} \,{\rm{d}}x = 142.{\rm{ }}\]

Đáp án cần nhập là: 142.