Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 15)

Ta có \(\cos \widehat {BOH} = \frac{{OH}}{{OB}} \Leftrightarrow \cos 60^\circ = \frac{{OH}}{{75}} \Leftrightarrow OH = \frac{{75}}{2}\,\,(\;{\rm{m}}).\)

Vậy sau 20 phút thì người đó ở độ cao \(15 + 75 + \frac{{75}}{2} = 127,5\;\,({\rm{m)}}.\) Chọn C.

Do \(x > 0\,;\,\,\frac{x}{3} + \frac{y}{4} \le 1\) nên ta có \(\frac{y}{4} < 1 \Leftrightarrow y < 4\). Do \(y\) nguyên dương nên \(y \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3} \right\}\).

• Với \(y = 1\) ta có \[0 < \frac{x}{3} \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{9}{4} \Leftrightarrow x \in \left\{ {1\,;\,\,2} \right\}\].

• Với \(y = 2\) ta có \(0 < \frac{x}{3} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = 1\).

• Với \(y = 3\) ta có \(0 < \frac{x}{3} \le \frac{1}{4} \Leftrightarrow 0 < x \le \frac{3}{4} \Leftrightarrow x \in \emptyset \).

Vậy bất phương trình có các nghiệm nguyên dương là \[\left( {1\,;\,\,1} \right),\,\,\left( {2\,;\,\,1} \right),\,\,\left( {1\,;\,\,2} \right).\] Chọn A.

 Gọi \[A,\,\,B\] lần lượt là giao điểm của đường thẳng đã cho với \[Ox,\,\,Oy.\]

Ta có \(12x + 5y = 60 \Leftrightarrow \frac{x}{5} + \frac{y}{{12}} = 1.\) Do đó \(A\left( {5\,;\,\,0} \right),\,\,B\left( {0\,;\,\,12} \right).\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) lên AB.

Khi đó \(OH = d\left( {O\,,AB} \right) = \frac{{\left| {12 \cdot 0 + 5 \cdot 0 - 60} \right|}}{{\sqrt {{{12}^2} + {5^2}} }} = \frac{{60}}{{13}}.\)

Tam giác \[OAB\] là tam giác vuông tại \(O\).

Khi đó, tổng độ dài các đường cao là: \(OA + OB + OH = 5 + 12 + \frac{{60}}{{13}} = \frac{{281}}{{13}}{\rm{.}}\) Chọn B.

Xét khai triển \({\left( {\frac{x}{3} + \frac{9}{x}} \right)^4}\) có số hạng tổng quát: \(C_4^k \cdot {\left( {\frac{x}{3}} \right)^{4 - k}} \cdot {\left( {\frac{9}{x}} \right)^k} = C_4^k \cdot {3^{3k - 4}} \cdot {x^{4 - 2k}}\).

Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển tương ứng với giá trị k thỏa mãn: \(4 - 2k = 0 \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy hệ số của số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là \(C_4^2 \cdot {3^2} = 54\).

Đáp án cần nhập là: 54.

Số ngày bạn An để dành tiền (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016) là \(31 + 29 + 31 + 30 = 121\) (ngày).

Số tiền bỏ ống heo ngày đầu tiên là \({u_1} = 100.\)

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ hai là \({u_2} = 100 + 1 \cdot 100.\)

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ ba là \({u_3} = 100 + 2 \cdot 100.\)

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ \(n\) là \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 100 + \left( {n - 1} \right) \cdot 100 = 100n\).

Số tiền bỏ ống heo ngày thứ 121 là \({u_{121}} = 100 \cdot 121 = 12\,\,100\).

Sau 121 ngày thì số tiền An tích luỹ được là tổng của 121 số hạng đầu của cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 100\,;\,\,d = 100.\)

Vậy số tiền An tích luỹ được là: \({S_{121}} = \frac{{121}}{2}\left( {{u_1} + {u_{121}}} \right) = \frac{{121}}{2}\left( {100 + 12\,\,100} \right) = 738\,\,100\) (đồng).

Chọn A.

Gọi \(G\) là tâm của tam giác đều \[ABC\] và \(M\) là trung điểm của \[BC.\]Suy ra \(SG \bot \left( {ABC} \right)\).

Theo giả thiết góc giữa mặt bên và đáy bằng \(45^\circ \) suy ra \(\widehat {SMG} = 45^\circ .\)

Đặt \({\log _3}\left( {{3^{x - 2}} + 2y} \right) = a \Leftrightarrow {3^{x - 2}} + 2y = {3^a}\)(1) và \[2 \cdot {3^{x - 1}} - a = 6y - x + 1\].

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^{x - 2}} + 2y = {3^a}}\\{2 \cdot {3^{x - 1}} - a = 6y - x + 1}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 \cdot {3^a} = {3^{x - 1}} + 6y}\\{2 \cdot {3^{x - 1}} - a = 6y - x + 1}\end{array}} \right.\).

Lấy (1) trừ (2), ta được \(3 \cdot {3^a} - 2 \cdot {3^{x - 1}} + a = {3^{x - 1}} + x - 1\)

\( \Leftrightarrow {3^{a + 1}} + a = {3^x} + x - 1\)\( \Leftrightarrow f\left( a \right) = f\left( {x - 1} \right)\) với \(f(t) = {3^{t + 1}} + t\) là hàm số đồng biến.

Do đó \(a = x - 1\) thay vào (1), ta được \({3^{x - 2}} + 2y = {3^{x - 1}} \Leftrightarrow 2y = \frac{2}{9} \cdot {3^x} \Leftrightarrow y = {3^{x - 2}}\).

Mà \({2022^{ - 1}} \le y \le 2022 \Rightarrow {2022^{ - 1}} \le {3^{x - 2}} \le 2022\)\( \Leftrightarrow - {\log _3}2022 \le x - 2 \le {\log _3}2022\)

\( \Leftrightarrow - 4,93 \le x \le 8,932\) và \(x \in \mathbb{Z}\) có 13 giá trị nguyên \(x\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 13 cặp số nguyên \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: 13.