$n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) - n\left( {A \cap B} \right) - n\left( {B \cap C} \right) - n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)$

Lời giải

Gọi $A$ là tập hợp các bạn chơi giỏi bóng đá, $n\left( A \right)$ là số phần tử của $A$.

Gọi $B$ là tập hợp các bạn chơi giỏi bóng đá, $n\left( B \right)$ là số phần tử của $B$.

Gọi $C$ là tập hợp các bạn chơi giỏi bóng đá, $n\left( C \right)$ là số phần tử của $C$.

Ta có:

\[n\left( {A \cup B \cup C} \right) = n\left( A \right) + n\left( B \right) + n\left( C \right) - n\left( {A \cap B} \right) - n\left( {B \cap C} \right) - n\left( {C \cap A} \right) + n\left( {A \cap B \cap C} \right)\]

\[ \Rightarrow 27 = 14 + 12 + 10 - 4 - 3 - 3 + n\left( {A \cap B \cap C} \right) \Rightarrow n\left( {A \cap B \cap C} \right) = 1\] nên số bạn chơi giỏi cả ba môn là 1.

Số bạn vừa chơi giỏi bóng đá, vừa chơi giỏi ít nhất một môn khác là:

$n\left[ {\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)} \right] = n\left( {A \cap B} \right) + n\left( {A \cap C} \right) - n\left( {A \cap B \cap C} \right) = 4 + 3 - 1 = 6$ (học sinh)

Số bạn chỉ chơi giỏi bóng đá là $n\left( A \right) - n\left[ {\left( {A \cap B} \right) \cup \left( {A \cap C} \right)} \right] = 14 - 6 = 8$ (học sinh)

Câu 2

Miền nghiệm $OABC$ trong hình vẽ dưới đây (kể cả bờ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?

A. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \le 0}\\{x - y \ge 2}\\{x + y \le 6}\end{array}} \right.$.

B. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x - y \ge 2}\\{x + y \le 6}\end{array}} \right.$.

C. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x - y \le 2}\\{x + y \ge 6}\end{array}} \right.$.

D. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x - y \le 2}\\{x + y \le 6}\end{array}} \right.$.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Để xác định hệ bất phương trình dựa vào miền nghiệm, ta xác định các bờ của miền nghiệm và kiểm tra một điểm thuộc miền nghiệm đó nằm ở nửa mặt phẳng nào rồi kết luận bất phương trình

Lời giải

Gọi (*) là hệ bất phương trình có miền nghiệm ${\rm{OABC}}$

Do miền nghiệm ${\rm{OABC}}$ có kể cả bờ nên các bất phương trình đều nhận dấu bằng.

Bờ chứa ${\rm{OA}}$ là đường thẳng $x = 0$. Điểm ${\rm{C}}\left( {2;0} \right)$ thuộc miền nghiệm ${\rm{OABC}}$ và $2 \ge 0$ nên ${\rm{x}} \ge 0$ là một bất phương trình của (*).

Bờ chứa $OC$ là đường thẳng $y = 0$. Điểm $A\left( {0;6} \right)$ thuộc miền nghiệm $OABC$ và $6 \ge 0$ nên $y \ge 0$ là một bất phương trình của (*).

Bờ chứa $BC$ là đường thẳng $x - y = 2$. Điểm $O\left( {0;0} \right)$ thuộc miền nghiệm $OABC$ và $0 - 0 \le 2$ nên $x - y \le 2$ là một bất phương trình của (*).

Bờ chứa $AB$ là đường thẳng $x + y = 6$. Điểm $O\left( {0;0} \right)$ thuộc miền nghiệm $OABC$ và $0 + 0 \le 6$ nên $x + y \le 6$ là một bất phương trình của (*).

Vậy miền nghiệm $OABC$ là miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x - y \le 2}\\{x + y \le 6}\end{array}} \right.$.

Câu 3

Hai chiếc thuyền xuất phát cùng một lúc, tại cùng một vị trí ở ngoài khơi xa, chạy về hai hướng hợp với nhau một góc ${60^ \circ }$. Tốc độ của mỗi chiếc thuyền lần lượt là $15{\rm{\;km/h}}$ và $24{\rm{\;km/h}}$. Khoảng cách giữa hai chiếc thuyền sau khi di chuyển được 20 phút là

A. 12 km.

B. 10,5 km.

C. 9 km.

D. 7 km.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Áp dụng đinh lý cosin trong tam giác $ABC:B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}A$.

Lời giải

Đổi 20 phút $ = \frac{1}{3}$ giờ.

Quãng đường mỗi chiếc thuyền di chuyển được sau 20 phút lần lượt là $15.\frac{1}{3} = 5\left( {{\rm{km}}} \right)$ và $24.\frac{1}{3} = 8\left( {{\rm{\;km}}} \right)$.

Vậy khoảng cách giữa hai chiếc thuyền sau khi di chuyển được 20 phút là:

$\sqrt {{5^2} + {8^2} - 2.8.5.{\rm{cos}}{{60}^0}} = 7\left( {{\rm{km}}} \right)$.

Câu 4

Trong mặt phẳng Oxyz cho tam giác ABC có trực tâm H(3;2) và trọng tâm $G (\frac{5}{3}; \frac{8}{3})$ . Đường thẳng BC có phương trình là x+2y-z=0. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án: __

Xem đáp án

Lời giải

(1) 5

Đáp án đúng là "5"

Phương pháp giải

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp $I$. Khi đó ta có $\overrightarrow {HG} = 2\overrightarrow {GI} $.

Lời giải

Gọi $I\left( {{x_I};{y_I}} \right)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Ta có $\overrightarrow {HG} = \left( { - \frac{4}{3};\frac{2}{3}} \right);\overrightarrow {GI} = \left( {{x_I} - \frac{5}{3};{y_I} - \frac{8}{3}} \right)$.

Tam giác $ABC$ có trực tâm $H$, trọng tâm $G$ và tâm đường tròn ngoại tiếp I nên $\overrightarrow {HG} = 2\overrightarrow {GI} $.

Do đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{ - 4}}{3} = 2\left( {{x_I} - \frac{5}{3}} \right)}\\{\frac{2}{3} = 2\left( {{y_I} - \frac{8}{3}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_I} = 1}\\{{y_I} = 3}\end{array} \Leftrightarrow I\left( {1;3} \right)} \right.} \right.$.

Đường thẳng $BC$ có phương trình là $x + 2y - 2 = 0$ nên $x = 2 - 2y$ và $\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 2;1} \right)$.

Gọi $M\left( {2 - 2{y_M};{y_M}} \right)$ là trung điểm $BC$. Khi đó $IM \bot BC$ và $\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {MG} $.

Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {1 - 2{y_M};{y_M} - 3} \right)$;

$IM \bot BC \Rightarrow \overrightarrow {IM} \bot \overrightarrow {{u_{BC}}} \Rightarrow - 2.\left( {1 - 2{y_M}} \right) + 1.\left( {{y_M} - 3} \right) = 0 \Rightarrow {y_M} = 1 \Rightarrow M\left( {0;1} \right)$.

Gọi $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$. Ta có $\overrightarrow {GA} = \left( {{x_A} - \frac{5}{3};{y_A} - \frac{8}{3}} \right);\overrightarrow {MG} = \left( {\frac{5}{3};\frac{5}{3}} \right)$ mà $\overrightarrow {GA} = 2\overrightarrow {MG} $

Nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} - \frac{5}{3} = 2 \cdot \frac{5}{3}}\\{{y_A} - \frac{8}{3} = 2 \cdot \frac{5}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_A} = 5}\\{{y_A} = 6}\end{array} \Leftrightarrow A\left( {5;6} \right)} \right.} \right.$.

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $IA = \sqrt {{{(5 - 1)}^2} + {{(6 - 3)}^2}} = 5$.

Câu 5

Một mật khẩu mở cửa gồm có 3 ký tự là các chữ số tự nhiên từ 0 đến 9. Mật khẩu chính xác là một số tự nhiên có 3 chữ số sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng trăm. Xác suất để một người nọ không biết mật khẩu, sau một lần bấm mở được cửa là:

A. $\frac{1}{{250}}$.

B. $\frac{{21}}{{250}}$.

C. $\frac{{27}}{{250}}$.

D. $\frac{{117}}{{250}}$.

Lời giải

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Số các số tự nhiên có ba chữ số sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng trăm là số cách chọn ra 3 phần tử từ tập hợp gồm 9 phần tử là các chữ số tự nhiên từ 1 đến 9.

Lời giải

Gọi $A$ là biến cố "một người nọ không biết mật khẩu, sau một lần bấm mở được cửa".

Gọi $\overline {abc} $ là mật khẩu chính xác để mở cửa.

Ta có $1 \le a < b < c \le 9;a,b,c \in \mathbb{N}$ hay $a,b,c \in H = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$.

Vì mật khẩu chính xác là một số tự nhiên có 3 chữ số sao cho chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục và chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng trăm nên cứ mỗi cách chọn ra 1 bộ 3 số từ $H$, ta được đúng 1 số $\overline {abc} $ thỏa mãn là mật khẩu mở cửa.

Do đó $n\left( A \right) = C_9^3 = 84$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( {\rm{\Omega }} \right) = 10.10.10 = 1000$.

Xác suất cần tìm là là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{84}}{{1000}} = \frac{{21}}{{250}}$.

Câu 6

Cho $\tan α = 2$ . Biết $T = \sin α \sin^{3} α + \sqrt{3} \cos^{3} α = \frac{a + b \sqrt{3}}{61}$ , trong đó a, b là các số nguyên dương. Tính a-b (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án: ___

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Cự li (m)	\(\left[ {19;19,5} \right)\)	\(\left[ {19,5;20} \right)\)	\(\left[ {20;20,5} \right)\)	\(\left[ {20,5;21} \right)\)	\(\left[ {21;21,5} \right)\)
Số lần	13	48	22	11	6

101	79	79	78	75	73	68	67	67	63
63	61	60	59	57	55	55	50	47	42

Năm	2005	2010	2020
Lúa gạo (triệu tấn)	182,1	197,2	213,6
Lúa mì (triệu tấn)	97,4	115,2	134,3

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý