Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 36)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát và đánh giá

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + {x^2} - x\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Đạo hàm: \(g'\left( x \right) = - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) \ge - \frac{1}{2}\left( {1 - 2x} \right)\) (*)

Đặt: \(t = 1 - 2x,t \in \mathbb{R}\), Bất phương trình (*) trở thành: \(f'\left( t \right) \ge - \frac{1}{2}t\)

Từ đồ thị ta có: \(f'\left( t \right) \ge - \frac{1}{2}t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le t \le 0}\\{t \ge 4}\end{array}} \right.\)

Do đó: \(g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le 1 - 2x \le 0}\\{1 - 2x \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}}\\{x \le - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát và đánh giá

Lời giải

Xét hàm số: \(g\left( x \right) = 3f\left( {x + 3} \right) - {x^3} + 12x\)

Có: \(g'\left( x \right) = 3.f'\left( {x + 3} \right) - 3{x^2}\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = 3.\left[ {1 - {{(x + 3)}^2}} \right]\left( {x + 3 - 5} \right) = 3\left( {1 - {x^2} - 6x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\( = 3\left( { - {x^2} - 6x - 8} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0}\\{ - {x^2} - 6x - 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = - 2}\\{x = - 4}\end{array}} \right.} \right.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 4; - 2} \right)\) và (2;\( + \infty \))

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Đặt \({\rm{sin}}x = t\), khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)

Lời giải

Đặt \({\rm{sin}}x = t\)

\(x \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Yêu cầu bài toán tương ứng với tìm điều kiện của \(m\) để hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}}\). Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( t \right) > 0}\\{m \notin \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m + 2 > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};2} \right)} \right.} \right.} \right.\)

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Lập hệ phương trình

Lời giải

Xét hàm số: \(y = a{x^3} + b{x^2} + c\)

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx\)

Theo bài: Hai điểm \(A\left( {0;1} \right)\) và \(B\left( { - 1;2} \right)\) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + c \Rightarrow x = 0\) và \(x =  - 1\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\)

\( \Rightarrow 3a - 2b = 0\)(1)

Vì \(A\left( {0;1} \right)\) và \(B\left( { - 1;2} \right)\) là hai điểm thuộc đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + c\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a{{.0}^3} + b{{.0}^2} + c = 1}\\{ - a + b + c = 2}\end{array}} \right.\) (2)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a - 2b = 0}\\{c = 1}\\{ - a + b + c = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 1}\\{a = 2}\\{b = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy: \(a + b + c = 1 + 2 + 3 = 6\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Chia các trường hợp của \(m\). Đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành khi phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt

Lời giải

Trường hợp 1: \(m = 0\)

Thay \(m = 0\) vào phương trình hàm số ta có: \(y = {x^2} - 1\)

Xét hàm số: \(y = {x^2} - 1\)

\(y' = 2x,y' = 0 \Rightarrow x = 0\)

Hàm số \(y = {x^2} - 1\) có 1 cực trị \(x = 0\) nên không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trường hợp 2: \(m \ne 0\)

Xét hàm số: \(y = m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1\)

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục hoành thì phương trình

\(m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\) (*) có ba nghiệm phân biệt.

Ta có: \(m{x^3} - \left( {2m - 1} \right){x^2} + 2mx - m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m{x^3} - 2m{x^2} + {x^2} + 2mx - m - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {{x^3} - 2{x^2} + 2x - 1} \right) + {x^2} - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow m\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {m{x^2} - mx + m + x + 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0}\end{array}} \right.\)

Để phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình \(m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \(x \ne 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{\Delta }} > 0}\\{m{{.1}^2} - \left( {m - 1} \right).1 + 1 + 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(m - 1)}^2} - 4m\left( {m + 1} \right) > 0}\\{3 \ne 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow - 3{m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3} < m < \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Vì \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Lời giải

Điều kiện xác định \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 3} \right) \ge 0}\\{x + 3 > 0}\end{array} \Leftrightarrow - 3 < x \le 6} \right.\)

Bất phương trình tương đương:

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{16}^x} - {{65.4}^x} + 64 \le 0}\\{2 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 3} \right) = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \le {4^x} \le 64}\\{x = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 3}\\{x = 6}\end{array}} \right.} \right.} \right.\).

Kết hợp với điều kiện xác định ta được: \(0 \le x \le 3\).

Vậy có 3 số nguyên dương thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là "2024"

Phương pháp giải

Hàm số có hai cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3\left( {1 - {m^2}} \right)x + 1\)

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 6x + 3\left( {1 - {m^2}} \right)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3\left( {1 - {m^2}} \right) = 0\)

Để hàm số có hai cực trị \( \Rightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Rightarrow {\rm{\Delta '}} > 0\)

\( \Rightarrow {3^2} - 3.3.\left( {1 - {m^2}} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow 9 - 9 + 9{m^2} > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} > 0 \Rightarrow m \ne 0\)

Kết hợp với yêu cầu bài toán \(m \in \left[ {1;2024} \right] \Rightarrow \) Có 2024 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán