Ta có: $\overrightarrow {AO'} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OO'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} $

$\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} $

$\overrightarrow {C'B} = \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {CB} = - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AD} $

Mà $\overrightarrow {AO'} = m\overrightarrow {DB} + n\overrightarrow {C'B} $

$ \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = m(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ) + n\left( { - \overrightarrow {AA'} - \overrightarrow {AD} } \right)$

$ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} = m}\\{\frac{1}{2} = - m - n}\\{1 = - n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{1}{2}}\\{n = - 1}\\{\frac{{ - 1}}{2} + 1 = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy $m + n = \frac{{ - 1}}{2}$

Câu 2

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD. A'B'C'D' có $A \equiv O (0; 0; 0)$ , B(3;0;0), D(0;3;0) và D'(0;3;-3). Gọi G là trọng tâm tam giác A'B'C. Biết $\vec{A G} (a; b; c)$ . Tính tổng a+b+c? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: __

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Công thức tọa độ vecto trong không gian

Lời giải

\[\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {DD'} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 0}\\{{y_{A'}} = 0}\\{{z_{A'}} = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow A'\left( {0;0; - 3} \right)\]

\[\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {DD'} \to \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{B'}} - 3 = 0}\\{{y_{B'}} = 0}\\{{z_{B'}} = - 3}\end{array}\quad \Rightarrow B'(3;0; - 3)} \right.\]

\[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 3}\\{{y_C} = 3}\\{{z_C} = 0}\end{array} \Rightarrow C(3;3;0)} \right.\]

\[\overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {DD} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{C'}} = 3}\\{{y_{C'}} = 3}\\{{z_{C'}} = - 3}\end{array}\quad \Rightarrow C'(3;3; - 3)} \right.\]

G là trọng tâm tam giác $A'B'C' \Rightarrow G\left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AG} = \left( {2;1; - 3} \right)$

$ \Rightarrow a + b + c = 0$

Câu 3

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3$. Hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)$ có mấy cực trị?

A. 3.

B. 1.

C. 4.

D. 5.

Lời giải

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số $g\left( x \right)$

Lời giải

Ta có: $f'\left( x \right) = 2x - 4,f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 2$

\[g(x) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\]

\[ \Rightarrow g'(x) = \left( {3{x^2} - 3} \right).f'\left( {{x^3} - 3x} \right)\]

\[g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - 3 = 0}\\{f'({x^3} - 3x) = 0}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 1}\\{{x^3} - 3x = 2}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

Bảng biến thiên:

$Cho hàm số y = f(x) = {x^2} - 4x + 3\ (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 cực trị

Câu 4

Trong không gian $Oxyz$ cho $\Delta ABC$ có điểm $A\left( {3;1; - 2} \right),B\left( { - 3; - 1;2} \right),C\left( { - 1;0; - 1} \right)$. Gọi điểm là chân đường phân giác trong của $\Delta ABC$. Xác định tọa độ điểm $D$?

A. $D\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)$.

B. $D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)$.

C. $D\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)$.

D. $D\left( {\frac{1}{3};\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)$

Lời giải

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó

Lời giải

Theo tính chất đường phân giác trong ta có: $\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}$

Ta có $:\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 2;4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {14} $

$\overrightarrow {BC} = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {14} $

$ \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt {14} }} = 2$

$ \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {DC} $

Gọi $D\left( {x;y;z} \right)$

$ \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \left( {3 - x;1 - y; - 2 - z} \right)$

$\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - y; - 1 - z} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x = 2 + 2x}\\{1 - y = 2y}\\{ - 2 - z = 2 + 2z}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{y = \frac{1}{3}}\\{z = \frac{{ - 4}}{3}}\end{array}} \right.} \right.$

Vậy điểm $D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)$

Câu 5

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {1;1;1} \right),B\left( {4;1;1} \right),C\left( {1;1;5} \right)$. Biết điểm $M\left( {a,b,c} \right)$ thuộc mặt phẳng $x - y + z - 10 = 0$ là điểm thỏa mãn hệ thức: $T = \left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} + 5\overrightarrow {MC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng $a + b + c$?

A. $\frac{{14}}{3}$.

B. $\frac{{17}}{3}$.

C. $\frac{{10}}{3}$.

D. $\frac{{16}}{3}$.

Lời giải

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi $I\left( {a,b,c} \right)$ là điểm thỏa mãn hệ thức: $\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = 0$

Theo bài ra ta có:

$T = \left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} + 5\overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {MI} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {IC} \left| = \right|2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI$

$ \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow M{I_{{\rm{min}}}} \Rightarrow M$ là hình chiếu của $I$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$

Xác định tọa độ điểm $I$:

$\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right)$

$\overrightarrow {IB} = \left( {4 - a;1 - b;1 - c} \right) \Rightarrow - 4\overrightarrow {IB} = \left( { - 16 + 4a; - 4 + 4b; - 4 + 4c} \right)$

$\overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;1 - b;5 - c} \right) \Rightarrow 5\overrightarrow {IC} = \left( {5 - 5a;5 - 5b;25 - 5c} \right)$

Mà $\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = 0$

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - a - 16 + 4a + 5 - 5a = 0}\\{1 - b - 4 + 4b + 5 - 5b = 0}\\{1 - c - 4 + 4c + 25 - 5c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a - 10 = 0}\\{ - 2b + 2 = 0}\\{ - 2c + 22 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 5}\\{b = 1}\\{c = 11}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Rightarrow I( - 5;1;11)\]

Phương trình đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ là:

$d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.$

Tọa độ điểm $M$ là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{x - y + z - 10 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{ - 5 + t - (1 - t) + 11 + t - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{t = \frac{{ - 5}}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 20}}{3}}\\{y = \frac{8}{3}}\\{z = \frac{{28}}{3}}\\{t = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 20}}{3};\frac{8}{3};\frac{{28}}{3}} \right)\]

\[ \Rightarrow a + b + c = \frac{{16}}{3}\]

Câu 6

Trong một khu vực đang bùng phát dịch bệnh $B$, tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là $2{\rm{\% }}$. Một loại xét nghiệm được sử dụng để phát hiện bệnh, nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm có $90{\rm{\% }}$ khả năng cho dương tính. Nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm có $95{\rm{\% }}$ khả năng cho kết quả âm tính. Xác suất một người bất kì xét nghiệm cho kết quả dương tính là?

A. $P = 0,067$.

B. $P = 0,042$.

C. $P = 0,045$.

D. $P = 0,038$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý