Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 37)

Đáp án đúng là "-1/2"

Phương pháp giải

Phân tích vecto

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AO'}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OO'}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'} \)

\(\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {C'B}  = \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {CB}  =  - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} \)

Mà \(\overrightarrow {AO'}  = m\overrightarrow {DB}  + n\overrightarrow {C'B} \)

\( \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AA'}  = m(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ) + n\left( { - \overrightarrow {AA'}  - \overrightarrow {AD} } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} = m}\\{\frac{1}{2} =  - m - n}\\{1 =  - n}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = \frac{1}{2}}\\{n =  - 1}\\{\frac{{ - 1}}{2} + 1 = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy \(m + n = \frac{{ - 1}}{2}\)

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Công thức tọa độ vecto trong không gian

Lời giải

\[\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {DD'}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{A'}} = 0}\\{{y_{A'}} = 0}\\{{z_{A'}} =  - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow A'\left( {0;0; - 3} \right)\]

\[\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {DD'}  \to  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{B'}} - 3 = 0}\\{{y_{B'}} = 0}\\{{z_{B'}} =  - 3}\end{array}\quad  \Rightarrow B'(3;0; - 3)} \right.\]

\[\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_C} = 3}\\{{y_C} = 3}\\{{z_C} = 0}\end{array} \Rightarrow C(3;3;0)} \right.\]

\[\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD}  \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_{C'}} = 3}\\{{y_{C'}} = 3}\\{{z_{C'}} =  - 3}\end{array}\quad  \Rightarrow C'(3;3; - 3)} \right.\]

G là trọng tâm tam giác \(A'B'C' \Rightarrow G\left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \left( {2;1; - 3} \right)\)

\( \Rightarrow a + b + c = 0\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(g\left( x \right)\)

Lời giải

Ta có: \(f'\left( x \right) = 2x - 4,f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = 2\)

\[g(x) = f\left( {{x^3} - 3x} \right)\]

\[ \Rightarrow g'(x) = \left( {3{x^2} - 3} \right).f'\left( {{x^3} - 3x} \right)\]

\[g'(x) = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{x^2} - 3 = 0}\\{f'({x^3} - 3x) = 0}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm 1}\\{{x^3} - 3x = 2}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.\]

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có 3 cực trị

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề của góc đó

Lời giải

Theo tính chất đường phân giác trong ta có: \(\frac{{DA}}{{DC}} = \frac{{BA}}{{BC}}\)

Ta có \(:\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 2;4} \right) \Rightarrow AB = 2\sqrt {14} \)

\(\overrightarrow {BC} = \left( {2;1; - 3} \right) \Rightarrow BC = \sqrt {14} \)

\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{2\sqrt {14} }}{{\sqrt {14} }} = 2\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {DC} \)

Gọi \(D\left( {x;y;z} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DA} = \left( {3 - x;1 - y; - 2 - z} \right)\)

\(\overrightarrow {DC} = \left( { - 1 - x; - y; - 1 - z} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3 - x = 2 + 2x}\\{1 - y = 2y}\\{ - 2 - z = 2 + 2z}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{3}}\\{y = \frac{1}{3}}\\{z = \frac{{ - 4}}{3}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy điểm \(D\left( {\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{{ - 4}}{3}} \right)\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Gọi \(I\left( {a,b,c} \right)\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = 0\)

Theo bài ra ta có:

\(T = \left| {\overrightarrow {MA} - 4\overrightarrow {MB} + 5\overrightarrow {MC} \left| = \right|\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {MI} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {MI} + 5\overrightarrow {IC} \left| = \right|2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\)

\( \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow M{I_{{\rm{min}}}} \Rightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\)

Xác định tọa độ điểm \(I\):

\(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right)\)

\(\overrightarrow {IB} = \left( {4 - a;1 - b;1 - c} \right) \Rightarrow - 4\overrightarrow {IB} = \left( { - 16 + 4a; - 4 + 4b; - 4 + 4c} \right)\)

\(\overrightarrow {IC} = \left( {1 - a;1 - b;5 - c} \right) \Rightarrow 5\overrightarrow {IC} = \left( {5 - 5a;5 - 5b;25 - 5c} \right)\)

Mà \(\overrightarrow {IA} - 4\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = 0\)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - a - 16 + 4a + 5 - 5a = 0}\\{1 - b - 4 + 4b + 5 - 5b = 0}\\{1 - c - 4 + 4c + 25 - 5c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a - 10 = 0}\\{ - 2b + 2 = 0}\\{ - 2c + 22 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 5}\\{b = 1}\\{c = 11}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Rightarrow I( - 5;1;11)\]

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.\)

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{x - y + z - 10 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{ - 5 + t - (1 - t) + 11 + t - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{t = \frac{{ - 5}}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 20}}{3}}\\{y = \frac{8}{3}}\\{z = \frac{{28}}{3}}\\{t = - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\]

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 20}}{3};\frac{8}{3};\frac{{28}}{3}} \right)\]

\[ \Rightarrow a + b + c = \frac{{16}}{3}\]

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác suất toàn phần

Lời giải

Gọi \(A\): "Kết quả xét nghiệm dương tính"

B: "Kết quả xét nghiệm âm tính"

C: "Người mắc bệnh"

D: "Người không mắc bệnh"

Tỉ lệ mắc bệnh trong dân số là: \(P\left( C \right) = 0,02 \Rightarrow P\left( D \right) = 1 - 0,02 = 0,98\)

Xác suất để xét nghiệm cho kết quả dương và người đó bị bệnh là: \(P\left( {A\mid C} \right) = 0,9\)

Xác suất để xét nghiệm âm tính và người đó không bị bệnh là: \(P\left( {B\mid D} \right) = 0,95\)

Xác suất để xét nghiệm dương tính nhưng người đó không bị bệnh là:

\(P\left( {A\mid D} \right) = 1 - 0,95 = 0,05\)

Áp dụng công thức tính xác suất toàn phần ta có:

\(P\left( A \right) = P\left( {A|C} \right).P\left( C \right) + P\left( {A|D} \right).P\left( D \right) = \left( {0,9.0,2} \right) + \left( {0,05.0,98} \right) = 0,067\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Thay tọa độ điểm vào đường thẳng và nhận xét

Lời giải

Đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {1; - 2;3} \right)\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Nhận diện đồ thị, biến đổi \(a,b,c,d\) theo \(e\)

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có hai tiệm cận là

Tiệm cận đứng: \(x = 1\)

Tiệm cận xiên: \(y = - x + 1\) (1)

\( \Rightarrow \frac{{ - e}}{d} = 1 \Rightarrow d = - e\)

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm có tọa độ \(\left( {0;2} \right)\)

\( \Rightarrow \frac{c}{e} = 2 \Rightarrow c = 2e\)

Ta có: phương trình tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là:

\(y = \frac{a}{d}x + \frac{{bd - ae}}{{{d^2}}}\) (2)

Từ (1) ; (2) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{d} = - 1}\\{\frac{{bd - ae}}{{{d^2}}} = 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - d}\\{bd - ae = {d^2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = e}\\{ - be - {e^2} = {e^2}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = e}\\{b = - 2e}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\)

Vậy: \(a + b + c + d + e = e - 2e + 2e - e + e = e\)