Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 6)

Với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ \(y\) của điểm \(M\).

Xét phương trình: \(4,8\cos \frac{x}{9} = 3,6 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{9} = \frac{3}{4}\). Do \(x \in \left[ { - \frac{{9\pi }}{2};\frac{{9\pi }}{2}} \right]\) nên \(\frac{x}{9} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\).

Từ phương trình \(\cos \frac{x}{9} = \frac{3}{4}\) với \(\frac{x}{9} \in \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), ta có \(\frac{x}{9} \approx \pm 0,7227\). Khi đó, \(2\left| x \right| \approx 13,0086\).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó lớn nhất là \(13\,m\) để sà lan có thể đi qua được gầm cầu.

Đáp án cần nhập là: \(13\).

Bất phương trình đã cho đúng với mọi \[x \in \left[ {1;3} \right]\]\[ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 1} \right)^3} + {x^2} + 1 \ge {\left( {mx} \right)^3} + mx\], \[\forall x \in \left[ {1;3} \right]\].

Xét hàm số: \[f\left( t \right) = {t^3} + t \Rightarrow f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\]\[\,\forall t \in \mathbb{R}\]. Vậy \[f\left( t \right)\] đồng biến trên \[\mathbb{R}\].

Suy ra bất phương trình đã cho đúng với mọi \[x \in \left[ {1;3} \right]\]\[ \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 1} \right) \ge f\left( {mx} \right);\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\] \[ \Leftrightarrow m \le \frac{{{x^2} + 1}}{x}\] \[\forall x \in \left[ {1;3} \right]\]\[ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \frac{{{x^2} + 1}}{x}\]\[ \Leftrightarrow m \le 2\].

Vì tham số \[m\] nguyên dương suy ra \[S = \left\{ {1;\,2} \right\}\].

Vậy tổng tất cả các phần tử thuộc \[S\] bằng \(3\). Chọn A.

Gọi số cây ở hàng thứ \(n\) là \[{u_n}\].

Ta có: \[{u_1} = 1\], \[{u_2} = 2\], \[{u_3} = 3\], … và \[S = {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_n} = 11\,325\].

Nhận xét dãy số \[\left( {{u_n}} \right)\] là cấp số cộng có \[{u_1} = 1\], công sai \[d = 1\].

Khi đó \[S = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} = 11325\]. Suy ra \[\frac{{n\left[ {2 \cdot 1 + \left( {n - 1} \right) \cdot 1} \right]}}{2} = 11325\]\[ \Leftrightarrow n\left( {n + 1} \right) = 22650\]

\[ \Leftrightarrow {n^2} + n - 22650 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 150\\n = - 151\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow n = 150\] (vì \[n \in {\mathbb{N}^*}\]).

Vậy số hàng cây được trồng là \[150\].

Đáp án cần nhập là: \[150\].

Diện tích bề mặt của mỗi tầng (kể từ 1) lập thành một cấp số nhân có công bội \(q = \frac{1}{2}\) và \({u_1} = \frac{{512}}{2} = 256\). Khi đó, diện tích mặt trên cùng là: \({u_8} = {u_1} \cdot {q^7} = 256 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^7} = 2\,\,\left( {c{m^2}} \right)\). Chọn C.

Đặt \(h\left( x \right) = \frac{{f\left( x \right) - 5}}{{x - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)h\left( x \right) + 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,h\left( x \right) = 2\end{array} \right.;\)\(p\left( x \right) = \frac{{g\left( x \right) - 1}}{{x - 1}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)p\left( x \right) + 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,\,p\left( x \right) = 3\end{array} \right..\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + 4} - 3}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - 5}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {f\left( x \right) \cdot g\left( x \right) + 4} + 3} \right)}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}h\left( x \right)p\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)\left[ {h\left( x \right) + 5p\left( x \right)} \right]}}{{\left( {x - 1} \right)\left[ {\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}h\left( x \right)p\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)\left[ {h\left( x \right) + 5p\left( x \right)} \right] + 9} + 3} \right]}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)h\left( x \right)p\left( x \right) + \left[ {h\left( x \right) + 5p\left( x \right)} \right]}}{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2}h\left( x \right)p\left( x \right) + \left( {x - 1} \right)\left[ {h\left( x \right) + 5p\left( x \right)} \right] + 9} + 3}} = \frac{{17}}{6}\). Chọn A.

Bất phương trình \( \Leftrightarrow 4{\left( {{{\log }_2}\sqrt x } \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + {\log _2}x + m \ge 0\) (*).

Đặt \(t = {\log _2}x\) với , khi đó (*) \( \Leftrightarrow m \ge f\left( t \right) = - {t^2} - t;\forall t \in \left( {0;6} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - {t^2} - t\) trên khoảng \(\left( {0;6} \right)\), có \(f'\left( t \right) = - 2t - 1 < 0;\forall t \in \left( {0;6} \right)\).

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số nghịch biến trên khoảng .

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right),\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = - 1\) hoặc \(x = 1\) hoặc \(x = 2\).

Bảng xét dấu đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng xét dấu, suy ra hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\]. Chọn D.