Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 2)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + at}\\{y = {y_0} + bt}\end{array}} \right.\) nhận \(\vec u = (a;b)\) làm vectơ chỉ phương.

Lời giải

Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(( - 4;3)\) hay \((4; - 3)\).

Đáp án đúng là "8"

Phương pháp giải

Tìm tọa độ chân cổng. Từ đó ta có chiều cao cổng bằng trị tuyệt đối trung độ chân cổng.

Lời giải

Khoảng cách từ chân cổng đến trục đối xứng Oy là \(\frac{8}{2} = 4\). Hoành độ hai chân cổng là \( - 4;4\)

Tung độ chân cổng là: \(y = - \frac{1}{2}{.4^2} = - 8\)

Vậy chiều cao của cổng là \(| - 8| = 8\) mét.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Để hàm số \(f(x) \le 0\) vô nghiệm thì \(f(x) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Sử dụng ứng dụng về dấu của tam thức bậc hai:

\(a{x^2} + bx + c > 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{\Delta < 0}\end{array}.} \right.\)

Lời giải

Để bất phương trình \({x^2} - (m + 2)x + 8m + 1 \le 0\) vô nghiệm thì \({x^2} - (m + 2)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1 > 0}\\{\Delta = {{(m + 2)}^2} - 4(8m + 1) < 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 - 32m - 4 < 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 28m < 0\)

\( \Leftrightarrow 0 < m < 28\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Sử dụng hoán vị.

Hoán vị

Lời giải

Số cách xếp 5 học sinh ngồi vào một dãy gồm 5 chiếc ghế là: 5!=120 (cách).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1\). Chứng minh \({v_n}\) là một cấp số nhân.

Từ đó tìm công thức tổng quát của \(u_n^2\).

Tính \(S\) bằng cách sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân.

Sử dụng ứng dụng của logarit để tìm số chữ số của \(S\).

Lời giải

Ta có: \({u_{n + 1}} = \sqrt {3u_n^2 + 2} \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 = 3u_n^2 + 2 \Leftrightarrow u_{n + 1}^2 + 1 = 3\left( {u_n^2 + 1} \right)\).

Đặt \({v_n} = u_n^2 + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{v_1} = 2.}\\{{v_{n + 1}} = 3{v_n}.}\end{array}} \right.\)

Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân có \({v_1} = 2\) công bội \(q = 3\) nên \({v_n} = {2.3^{n - 1}}\).

\( \Rightarrow u_n^2 = {2.3^{n - 1}} - 1\).

Khi đó: \(S = 2.\left( {1 + {3^1} + {3^2} + \ldots + {3^{2022}}} \right) = {3^{2023}} - 1\).

Ta có: \(S + 1 = {3^{2023}}\) có \(\left[ {\log {3^{2023}}} \right] + 1 = 966\) (chữ số).

Do đó \(S\) có 966 hoặc 965 chữ số.

\(S\) có 965 chữ số khi \(S + 1 = {10^{965}} \Leftrightarrow {3^{2023}} = {10^{965}}\) (vô lý do \({3^{2023}}\) là số lẻ còn \({10^{965}}\) là số chẵn)

Vậy số chữ số của \(S = 966\) (chữ số).

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_k}{q^{n - k}}\)

Lời giải

Giả sử cấp số nhân có công bội là, khi đó theo bài ra ta có:

\(2\left( {{u_3} + {u_4} + {u_5}} \right) = {u_6} + {u_7} + {u_8}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{u_3} + {u_3}q + {u_3}{q^2}} \right) = {u_6} + {u_6}q + {u_6}{q^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{u_3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = {u_6}\left( {1 + q + {q^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow 2{u_3} = {u_6}{\rm{ do }}1 + q + {q^2} > 0\)

\( \Leftrightarrow 2{u_3} = {u_3}{q^3} \Leftrightarrow {u_3}\left( {2 - {q^3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_3} = 0}\\{q = \sqrt[3]{2}}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\frac{{{u_8} + {u_9} + {u_{10}}}}{{{u_2} + {u_3} + {u_4}}} = \frac{{{u_8} + {u_8}q + {u_8}{q^2}}}{{{u_2} + {u_2}q + {u_2}{q^2}}} = \frac{{{u_8}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}}{{{u_2}\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \frac{{{u_2}{q^6}}}{{{u_2}}} = {q^6} = 4\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng máy tính cầm tay

Lời giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta được:

\(L = \lim \frac{{3n - 1}}{{n + 2}} = 3\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ \(t = {\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right)\)

Lời giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} - 3 > 0}\\{{3^{x - 2}} - \frac{3}{4} > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 1} \right.\).

\({\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right){\log _8}\left( {{3^x}{2^{ - 2}} - \frac{3}{4}} \right) \le 1\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right).\frac{1}{3}\left[ {{{\log }_2}\left( {{3^x} - 3} \right) - 2} \right] - 1 \le 0\)

Đặt \(t = {\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right)\)

Ta có:

\(\frac{1}{3}t(t - 2) - 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{3}{t^2} - \frac{2}{3}t - 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow - 1 \le t \le 3 \Leftrightarrow - 1 \le {\log _2}\left( {{3^x} - 3} \right) \le 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{7}{2} \le {3^x} \le 11 \Leftrightarrow {\log _3}\frac{7}{2} \le x \le {\log _3}11\)

Suy ra tập nghiệm là \(S = \left[ {{{\log }_3}\frac{7}{2};{{\log }_3}11} \right] \Rightarrow a + b = {\log _3}\frac{{77}}{2}\).