Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 27)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Các phép toán trên tập hợp.

Lời giải

Ta có \(A = \{ x \in \mathbb{R}|1 \le \left| x \right| \le 2\} ;B = \left( { - \infty ;m - 4\left] \cup \right[m; + \infty } \right)\)

Để \(A \subset B\).

Trường hợp 1: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 4 \ge - 1}\\{m \le 1}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 3}\\{m \le 1}\end{array}} \right.} \right.\) không thỏa mãn

Trường hợp 2: \(m \le - 2\).

Trường hợp 3: \(m - 4 \ge 2 \Rightarrow m \ge 6\).

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le - 2}\\{m \ge 6}\end{array}} \right.\)

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Quy tắc nhân.

Lời giải

Xếp 6 học sinh nam thành một hàng dọc có \(6!\) cách xếp.

Sau đó xếp các bạn nữ vào 7 khoảng trống giữa các bạn nam nên có 7!

Vậy có \(6!.7! = 3628800\).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Nhận biết phương trình đường tròn.

Lời giải

Loại \({\rm{A}},{\rm{B}}\) vì hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau

Ta có \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 4)^2} = - 3\) vô lý

\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1 = 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} = 4\) là phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 2\)

Đáp án đúng là "0"

Phương pháp giải

Dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải

Ta có \(4{x^2} - 4x - 2 = {(2x - 1)^2} - 3 < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Khi đó để \(f\left( x \right)\) luôn dương thì \( - {x^2} + 4\left( {m + 1} \right)x + 1 - 4{m^2} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 1 < 0}\\{{\rm{\Delta }} = 4{{(m + 1)}^2} + \left( {1 - 4{m^2}} \right) < 0}\end{array} \Leftrightarrow 8m + 5 < 0 \Leftrightarrow m <  - \frac{5}{8}} \right.\)

Vậy không có giá trị nguyên dương \(m\) thỏa mãn đề bài

Đáp án đúng là "10"

Phương pháp giải

Tìm GTNN-GTLN của hàm số lượng giác.

Lời giải

Ta có \({\rm{cos}}x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \(y = \frac{{m{\rm{sin}}x + 2}}{{{\rm{cos}}x + 3}} \Leftrightarrow m{\rm{sin}}x - y{\rm{cos}}x = 3y - 2\).

Do phương trình có nghiệm nên

\({m^2} + {y^2} \ge {(3y - 2)^2} \Leftrightarrow 8{y^2} - 12y + 4 - {m^2} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{6 - \sqrt {{m^2} + 4} }}{8} \le y \le \frac{{6 + \sqrt {{m^2} + 4} }}{8}\)

Vậy GTNN của \(y\) bằng \(\frac{{6 - \sqrt {{m^2} + 4} }}{8}\)

Theo yêu cầu đề bài ta có:

\(\frac{{6 - \sqrt {{m^2} + 4} }}{8} < 0 \Leftrightarrow 6 - \sqrt {{m^2} + 4}  < 0 \Leftrightarrow \sqrt {{m^2} + 4}  > 6 \Leftrightarrow {m^2} > 32 \Rightarrow \left| m \right| > 4\sqrt 2 \)

Mà ta cần tìm \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) nên \(m \in \left\{ { \pm 6; \pm 7; \pm 8; \pm 9; \pm 10} \right\}\)

Vậy có 10 giá trị \(m\) thỏa mãn

Đáp án đúng là "113"

Phương pháp giải

Sử dụng định lý sin.

Lời giải

Sử dụng định lý sin cho tam giác \(ABC\), ta có \(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}A}} = 2R\).

Suy ra \(R = \frac{{BC}}{{2{\rm{sin}}A}} = \frac{6}{{2{\rm{sin}}{{150}^ \circ }}} = 6\left( {\rm{m}} \right)\)

Vậy diện tích của miệng giếng là \(S = \pi {R^2} = 36\pi  \approx 113\left( {{m^2}} \right)\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Lời giải

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 2025}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + n\left( {\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}} \right)}\end{array}} \right.\)

Suy ra

\({u_2} = {u_1} + 1\);

\({u_3} = {u_2} + 2\);

\({u_4} = {u_3} + 3\);

...

\({u_n} = {u_{n - 1}} + n - 1\)

Cộng vế theo vế ta có

\({u_2} + {u_3} + {u_4} + \ldots + {u_n} = {u_1} + {u_2} + {u_3} + \ldots + {u_{n - 1}} + 1 + 2 + 3 + \ldots + \left( {n - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {u_n} = {u_1} + 1 + 2 + 3 + \ldots + \left( {n - 1} \right) \Leftrightarrow {u_n} = 2025 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Hàm số liên tục

Lời giải

\(f\left( 0 \right) = m + 1\)

\(f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 0{\rm{\;}}\) khi và chỉ khi