Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 3)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Xác định phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm có hoành độ \({x_0}\) là:

\(y = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0} + 1}}{{{x_0} - 2}}\)

Tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ là

\(A\left( {\frac{{2x_0^2 + 2{x_0} - 2}}{5};0} \right),B\left( {0;\frac{{2x_0^2 + 2{x_0} - 2}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}} \right)\)

Do đó diện tích tam giác \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}.OA.OB = \frac{{\left( {2{x_0}^2 + 2{x_0} - 2} \right)}}{{10{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} = \frac{2}{5} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = - 3}\\{{x_0} = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy có 2 điểm thỏa mãn

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Tìm điểm uốn của đồ thị. Đặt điều kiện để điểm uốn thỏa mãn điều kiện cho từ trước, từ đó suy ra giá trị của tham số

Lời giải

Điều kiện : \(m \ne 0\)

\({f^\prime }(x) = \frac{{ - 3{x^2}}}{m} + 6mx\)

\({f^{\prime \prime }}(x) = \frac{{ - 6x}}{m} + 6m,{f^{\prime \prime }}(x) = 0 \Rightarrow x = {m^2}\)

Đồ thị hàm số \((C)\) có điểm uốn \(I\left( {{m^2};2{m^5} - 1} \right)\)

Ta có : \(I \in (P) \Leftrightarrow 2{m^5} - 1 = 2{m^4} - 1 \Leftrightarrow {m^4}(m - 1) = 0 \Rightarrow m = 1\)

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Dùng giới hạn xác định tiệm cận xiên

Lời giải

Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số có dạng : \(y = {\rm{ax}} + {\rm{b}}\,\,(a \ne 0)\)

Ta có:

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{{x^3}}}{{x\left( {{x^2} - 1} \right)}} = 1\)

\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } [f(x) - x] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {\frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 1}} - x} \right) = 0\)

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là: \(y = x\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

 Dùng hàm đặc trưng

Lời giải

Ta có: \(\log \frac{{x + 1}}{{3y + 1}} \le 9{y^4} + 6{y^3} - {x^2}{y^2} - 2{y^2}x\)

\( \Leftrightarrow \log \frac{{xy + y}}{{3{y^2} + y}} \le \left( {9{y^4} + 6{y^3} + {y^2}} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + 2xy.y + {y^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) - \log \left( {3{y^2} + y} \right) \le {\left( {3{y^2} + y} \right)^2} - {(xy + y)^2}\)

\( \Leftrightarrow \log (xy + y) + {(xy + y)^2} \le \log \left( {3{y^2} + y} \right) + {\left( {3{y^2} + y} \right)^2}\)

Xét hàm : \(f(t) = \log t + {t^2}\) với \(t \in (0; + \infty )\)

\({f^\prime }(t) = \frac{1}{{t\ln 10}} + 2t > 0\,\,\forall t \in (0; + \infty ) \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên khoảng \((0; + \infty )\)

\( \Rightarrow f(xy + y) \le f\left( {3{y^2} + y} \right) \Leftrightarrow xy + y \le 3{y^2} + y \Leftrightarrow x \le 3y\)

Vì \(y \le 1000\) nên ta có các trường hợp sau:

\(y = 1 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3\} \)

\(y = 2 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3;4;5;6\} \)

………

\(y = 1000 \Rightarrow x \in \{ 1;2;3; \ldots ;3000\} \)

Vậy số cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(3 + 6 + 9 + \ldots + 3000 = 1501500\)

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng

Lời giải

\({x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} - 19{y^3} + 3{x^2} - 3y = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} - 27{y^3} + 3{x^2} - 3y = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^6} + 6{x^4}y + 12{x^2}{y^2} + 8{y^3} + 3{x^2} + 6y = 27{y^3} + 9y\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 2y} \right)^3} + 3\left( {{x^2} + 2y} \right) = {(3y)^3} + 3.3y\,\,(*)\)

Xét hàm số: \(f(t) = {t^3} + 3t\)

Ta có : \({f^\prime }(t) = 3{t^2} + 3 > 0\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow f(t)\) là hàm đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Vì vậy \((*) \Leftrightarrow f\left( {{x^2} + 2y} \right) = f(3y) \Leftrightarrow {x^2} + 2y = 3y \Leftrightarrow {x^2} = y\)

Theo giả thiết ta có : \(0 \le y \le 100 \Leftrightarrow 0 \le {x^2} \le 100 \Leftrightarrow - 10 \le x \le 10\)

Vì \(x\) nguyên nên \(x \in \{ - 10; - 9; - 8; \ldots ;8;9;10\} \), với mỗi \(x\) xác định duy nhất giá trị \(y = {x^2}\).

Vậy có 21 cặp \((x;y)\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Lời giải

Cô mặc áo dài xanh không phải cô An và cô Bình lại ngồi giữa cô mặc áo dài tím và cô Nhàn⇒ loại phương án D

⇒ Cô mặc áo dài xanh là cô Giang

Cô mặc áo dài trắng thì ngồi giữa cô mặc áo dài hồng và cô Nhàn

⇒ Cô mặc áo tím là cô Bình, áo hồng là cô Nhàn và cô An mặc áo trắng

Đáp án: C

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Tỉ số thể tích

Lời giải

\(\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{CMBD}}}} = \frac{{CN}}{{CB}}.\frac{{CP}}{{CD}} = \frac{1}{4}(*),\,\,\frac{{{V_{CMBD}}}}{{{V_{CSBD}}}} = \frac{{{V_{M.CBD}}}}{{{V_{S.CBD}}}} = \frac{{BM}}{{BS}} = \frac{1}{2}(**)\)

Lấy \((*).(**)\) ta được: \(\frac{{{V_{CMNP}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{1}{8} \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{1}{8}{V_{S.BCD}}\)

Gọi \(H\) là trung điểm \(AD \Rightarrow SH \bot AD\) và \((SAD) \bot (ABCD)\) nên \(SH \bot (ABCD)\)

\({V_{S.BCD}} = \frac{1}{3}SH.{S_{\Delta BCD}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}} \Rightarrow {V_{CMNP}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{96}}\)

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Phân tích vecto.

Lời giải

Vẽ , do đó \(DM \bot BN \Leftrightarrow DE \bot BN\). Đặt \(AN = xAD\)

Ta có : \(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AE} = - \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \)

\(\overrightarrow {BN} = - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AN} = - \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AD} \)

Vì \(BN \bot DE \Rightarrow (3\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AD} ) = 0\)

\( \Leftrightarrow - 3xA{D^2} - A{B^2} + (3 + x)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = 0\)

Vì tam giác ABD đều nên:  \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.\cos \widehat {BAD} = a.a.\cos {60^\circ } = \frac{{{a^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow - 3a{x^2} - {a^2} + \frac{{{a^2}(3 + x)}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{5} \Rightarrow AN = \frac{2}{5}AD\)