Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề số 9)

Đáp án đúng là "255"

Phương pháp giải

Thay các giá trị \({v_0},\,\,\theta \) và \(g\) vào hàm số \(R = \frac{{v_0^2{\rm{sin}}2\theta }}{g}\) để tính giá trị \(R\)

Lời giải

Tầm xa \(R\) của vật được ném xiên là:                                               

\(R = \frac{{v_0^2{\rm{sin}}2\theta }}{g} = \frac{{{{50}^2}.{\rm{sin}}\left( {{{2.45}^ \circ }} \right)}}{{9.8}} = \frac{{2500.1}}{{9,8}} \approx 255,1{\rm{\;m}}\)

Vậy tầm xa của vật được ném xiên là \(R \approx 255{\rm{\;m}}\).

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

\(f\left( x \right) \le 0\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array}} \right.\)

Lời giải

Ta có: \(a = m - 1,b = 2\left( {m - 1} \right),b' = m - 1,c = m - 3\).

Theo giả thiết: \(\left( {m - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\,\,\left( {\rm{*}} \right)\)

Trường hợp 1: \(a = m - 1 = 0 \Rightarrow m = 1\).

Thay vào \(\left( {\rm{*}} \right):1 - 3 \le 0,\forall x \in \mathbb{R}\) (đúng).

Suy ra \(m = 1\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(a = m - 1 \ne 0 \Rightarrow m \ne 1\).

\(\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a < 0}\\{{\rm{\Delta '}} \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 1 < 0}\\{{{(m - 1)}^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0}\end{array}} \right.} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{{m^2} - 2m + 1 - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right) \le 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{2m - 2 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{m \le 1}\end{array} \Leftrightarrow m < 1} \right.} \right.\).

Hợp hai kết quả trên, ta được \(m \le 1\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án đúng là "4350"

Phương pháp giải

Tính tổng số tiền lương mà người nhân viên nhận được cho đến khi đạt mức tối đa là 400 triệu đồng/năm theo công thức tính tổng của cấp số cộng: \(S = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\).

Tổng số tiền lương người đó nhận được trong 15 năm bằng tổng số tiền người đó nhận được cho đến khi đạt mức tối đa là 400 triệu đồng và số tiền của những tháng đạt 400 triệu đồng.

Lời giải

Gọi \({u_n}\) là số lương năm thứ \(n\) của nhân viên khi làm ở công ty. Vì mỗi năm nhân viên được tăng thêm 25 triệu đồng nên ta có \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với \({u_1} = 125\) và công sai \(d = 25\).

Để lương nhân viên đạt 400 đồng/năm ta có

\({u_n} = 400 \Leftrightarrow {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 400\)

\( \Leftrightarrow 125 + 25\left( {n - 1} \right) = 400 \Leftrightarrow n = 12\)

Sau 12 năm thì nhân viên đạt mức lương tối đa.

Vậy tổng số lương mà người đó nhận được trong 15 năm đầu là:

\({S_{15}} = \frac{{12.\left( {125 + 400} \right)}}{2} + 400.3 = 4350\)

Vậy tổng số tiền mà nhân viên đó nhận được trong 15 năm đầu được làm tròn đến hàng đơn vị là 4350 (triệu đồng).

Đáp án đúng là "-6"

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của cấp số nhân: \({x_1}{x_3} = x_2^2\).

Lời giải

Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) lập thành một cấp số nhân.

Ta có

\({x^3} - 7{x^2} + 2\left( {{m^2} + 6m} \right)x - 8 = \left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right),\forall m \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {x_1}{x_2}{x_3} = 8\)

Theo tính chất của cấp số nhân \({x_1}{x_3} = x_2^2\).

Suy ra \(x_2^3 = 8 \Rightarrow {x_2} = 2\).

Thay nghiệm \(x = {x_2} = 2\) vào phương trình đã cho, ta có

\(8 - 28 + 2\left( {{m^2} + 6m} \right).2 - 8 = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 24m - 28 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{m =  - 7}\end{array}} \right.\)

Thử lại với các giá trị \(m\) tìm được

Với \(m = 1\), ta có phương trình: \({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{TM}}} \right)}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Với \(m =  - 7\), ta có phương trình \({x^3} - 7{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x = 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{TM}}} \right)}\\{x = 1}\end{array}} \right.\).

Suy ra \(m = 1;m =  - 7\) là các giá trị cần tìm.

Tổng các giá trị của \(m\) là -6.

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Xác định khối lượng muối trong bể và thể tích nước, từ đó xác định hàm \(f\left( t \right)\).

Tính giới hạn hàm số \(f\left( t \right)\) tại vô cùng.

Lời giải

Sau \(t\) phút, ta có:

Khối lượng muối trong bể là \(25.30.t = 750t\left( {{\rm{gam}}} \right)\);

Thể tích của lượng nước trong bể là \(5000 + 25t\) (lít).

Vậy nồng độ muối sau \(t\) phút là:

\(f\left( t \right) = \frac{{750t}}{{5000 + 25t}} = \frac{{30t}}{{200 + t}}\) (gam/lít)

Ta có:

Vậy nồng độ muối trong bể đạt trạng thái cân bằng khi bằng 30 (gam/lít).

Đáp án đúng là C

Phương pháp giải

Áp dụng công thức: \(({\rm{ln}}u)' = \frac{{u'}}{u}\)

Lời giải

Ta có \(y' = \frac{{{\rm{cos}}x}}{{{\rm{sin}}x}} = {\rm{cot}}x\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Lời giải

Ta có:

\(f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x - 2 = 0}\\{x - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\\{x = 3}\end{array}} \right.} \right.\)

Ta có bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {4; + \infty } \right)\).