Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 20

Ta có: \(y' = 3{x^2} + 6x - 6;\,\,y\left( 1 \right) = {1^3} + 3 \cdot {1^2} - 6 \cdot 1 + 1 =  - 1\); \(y'\left( 1 \right) = 3 \cdot {1^2} + 6 \cdot 1 - 6 = 3\).

Suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 1 là: \(y = 3x - 4\).

Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = 3x - 4\) với hai trục tọa độ là:

Với \(x = 0\) thì \(y =  - 4\) nên \(A\left( {0; - 4} \right)\).

Với \(y = 0\) thì \(3x - 4 = 0\) suy ra \(x = \frac{4}{3}\) nên \(B\left( {\frac{4}{3};0} \right)\).

Tam giác OAB là tam giác vuông tại \(O\) có \(OA = \sqrt {{0^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 4;OB = \sqrt {{{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {0^2}}  = \frac{4}{3}\).

Vậy diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \approx 2,67\).

Đáp án cần nhập là: \(2,67\).

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thỏa mãn hệ thức: \(\overrightarrow {IA}  - 4\overrightarrow {IB}  + 5\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \).

Theo bài ra ta có:

\(T = \left| {\overrightarrow {MA}  - 4\overrightarrow {MB}  + 5\overrightarrow {MC} \left|  =  \right|\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  - 4\overrightarrow {MI}  - 4\overrightarrow {IB}  + 5\overrightarrow {MI}  + 5\overrightarrow {IC} \left|  =  \right|2\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI\).

\( \Rightarrow {T_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow M{I_{{\rm{min}}}} \Rightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Xác định tọa độ điểm \(I\):

\(\overrightarrow {IA}  = \left( {1 - a;1 - b;1 - c} \right)\).

\(\overrightarrow {IB}  = \left( {4 - a;1 - b;1 - c} \right) \Rightarrow  - 4\overrightarrow {IB}  = \left( { - 16 + 4a; - 4 + 4b; - 4 + 4c} \right)\).

\(\overrightarrow {IC}  = \left( {1 - a;1 - b;5 - c} \right) \Rightarrow 5\overrightarrow {IC}  = \left( {5 - 5a;5 - 5b;25 - 5c} \right)\).

Mà \(\overrightarrow {IA}  - 4\overrightarrow {IB}  + 5\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)

\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - a - 16 + 4a + 5 - 5a = 0}\\{1 - b - 4 + 4b + 5 - 5b = 0}\\{1 - c - 4 + 4c + 25 - 5c = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2a - 10 = 0}\\{ - 2b + 2 = 0}\\{ - 2c + 22 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - 5}\\{b = 1}\\{c = 11}\end{array}} \right.} \right.} \right. \Rightarrow I\left( { - 5;1;11} \right)\]

Phương trình đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\end{array},t \in \mathbb{R}} \right.\)

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{x - y + z - 10 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{ - 5 + t - (1 - t) + 11 + t - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 5 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 11 + t}\\{t = \frac{5}{3}}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{ - 1}}{3}}\\{y = \frac{{ - 2}}{3}}\\{z = \frac{{38}}{3}}\\{t =  - \frac{5}{3}}\end{array}} \right.} \right.\].

\[ \Rightarrow M\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 2}}{3};\frac{{38}}{3}} \right)\]\[ \Rightarrow a + b + c = \frac{{35}}{3}\]. Chọn D.

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + {x^2} - x\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Đạo hàm: \(g'\left( x \right) =  - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1\).

Để hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow  - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) \ge  - \frac{1}{2}\left( {1 - 2x} \right)\) (*).

Đặt: \(t = 1 - 2x,t \in \mathbb{R}\), Bất phương trình (*) trở thành: \(f'\left( t \right) \ge  - \frac{1}{2}t\).

Từ đồ thị ta có: \(f'\left( t \right) \ge  - \frac{1}{2}t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le t \le 0}\\{t \ge 4}\end{array}} \right.\).

Do đó: \(g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le 1 - 2x \le 0}\\{1 - 2x \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}}\\{x \le  - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)\). Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình \(2f\left( x \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{5}{2}\) có 4 nghiệm phân biệt thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right),\left( { - 2;1} \right),\left( {1;2} \right),\left( {2; + \infty } \right)\) nên đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{2f\left( x \right) - 5}}\) có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn D.

Giá dầu của ngày mai là \(81 \cdot \left( {100{\rm{\% }} - 10{\rm{\% }}} \right) = 72,9\) USD.

Già dầu của ngày kia là \(72,9 \cdot \left( {100{\rm{\% }} + 10{\rm{\% }}} \right) = 80,19\) USD. Chọn C.

Mặt phẳng song song với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) nên có vectơ pháp tuyến là \(\left( {1;0;0} \right)\), đồng thời đi qua điểm \(K\left( {4;5;7} \right)\) nên có phương trình là \(x - 4 = 0\). Chọn B.

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m - 4\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m - 4\).

Vì đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ở phía trên trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở phía dưới lên trên qua trục Ox.

Vậy hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow f\left( 3 \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow m - 4 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \ge 4\).

Kết hợp với điều kiện của bài ta có: \(m \in \left[ {4;10} \right) \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\)

Đáp án cần nhập là: \(7\).

Giả sử giá bán thay đổi \(x\) lần, mỗi lần thay đổi 2000 đồng (\(x \in \mathbb{Z},x > 0\) là tăng giá, \(x < 0\) là giảm giá).

Số tiền thu được sau khi bán 1 kg thanh long khi thay đổi giá là \(\left( {20 + x - 2,2} \right)\) nghìn đồng.

Số khách mua sau \(x\) lần thay đổi là \(90 - x\).

Số kg thanh long mỗi khách mua sau x lần thay đổi là \(\left( {60 - 5x} \right)\) (kg).

Tổng tiền thu được sau khi thay đổi là:

\(T = \left( {90 - x} \right)\left( {60 - 5x} \right)\left( {20 + 2x - 2,2} \right) = 10{x^3} - 931{x^2} + 1772x + 96120\) (nghìn đồng).

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}90 - x \ge 0\\60 - 5x \ge 0\\17,8 + 2x \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 90\\x \le 12\\x \ge  - 8,9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow  - 8,9 \le x \le 12\).

Xét hàm số \(T = 10{x^3} - 931{x^2} + 1772x + 96120\).

\(T' = 2\left( {15{x^2} - 931x + 886} \right)\).

\(T' = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \approx 1\left( {TM} \right)}\\{x \approx 61\left( {KTM} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta có \(T\left( { - 8,9} \right) =  - 445;T\left( 1 \right) = 96971;T\left( {12} \right) = 600\)

\( \Rightarrow {T_{{\rm{max}}}}\) khi \(x = 1\). Tức là ta chỉ tăng giá 1 lần.

Vậy giá đưa ra để lợi nhuận cao nhất là: 22000 đồng/kg. Chọn A.