Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 22

Тập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

\(y =  - {x^3} - 6{x^2} + \left( {4m - 9} \right)x + 4\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Ta có: \(y' =  - 3{x^2} - 12x + 4m - 9\).

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' \le 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow  - 3{x^2} - 12x + 4m - 9 \le 0\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 4m \le 3{x^2} + 12x + 9\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3{x^2} + 12x + 9\) trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).

\(g'\left( x \right) = 6x + 12\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: \(4m \le 3{x^2} + 12x + 9\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow 4m \le  - 3 \Leftrightarrow m \le \frac{{ - 3}}{4}\).

Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 15;15} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 15; - 14; \ldots ; - 1} \right\}\).

Vậy tổng tất cả các giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán là \(\frac{{\left[ { - 15 + \left( { - 1} \right)} \right] \cdot 15}}{2} =  - 120\).

 Đáp án cần nhập là: \( - 120\).

Ta có \(f'\left( x \right) = {x^2} + 2mx + {m^2} - 4\).

Hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số bậc ba

\(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} + m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 1\) có hai điểm cực trị \({x_1},{x_2}\) sao cho \({x_1} < 0 < {x_2}\).

\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 4} \right) \cdot 1 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\).

Với \({x_1} = 0\) thì \(f'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 2}\\{m =  - 2}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_2} =  - 4 < 0\left( l \right)}\\{{x_2} = 4 > 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Suy ra \(m =  - 2\) thỏa mãn.

Vì \(m\) là số nguyên nên có 4 giá trị của \(m\) thỏa yêu cầu bài toán. Chọn C.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;2} \right)\). Chọn D.

Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right) > 0\) \(\forall x \in \left( { - 1;0} \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) . Chọn B.

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thoả mãn \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  + 2\overrightarrow {ID}  = \vec 0\).

Có \(\overrightarrow {IA}  = \left( {2 - x;7 - y;5 - z} \right)\); \[\overrightarrow {IB}  = \left( {3 - x;6 - y;4 - z} \right)\];

\(\overrightarrow {IC}  = \left( {1 - x;8 - y;2 - z} \right)\); \(\overrightarrow {ID}  = \left( {4 - x;3 - y;2 - z} \right)\).

Khi đó ta có \(\left\{ \begin{array}{l}2 - x + 3 - x - 1 + x + 8 - 2x = 0\\7 - y + 6 - y - 8 + y + 6 - 2y = 0\\5 - z + 4 - z - 2 + z + 4 - 2z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}12 - 3x = 0\\11 - 3y = 0\\11 - 3z = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = \frac{{11}}{3}\\z = \frac{{11}}{3}\end{array} \right.\).

Ta có:\(T = M{A^2} + M{B^2} - M{C^2} + 2M{D^2}\)

\(T = {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {ID} } \right)^2}\)

\(T = 3M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  - \overrightarrow {IC}  + 2\overrightarrow {ID} } \right) + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\)

\(T = 3M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2} \ge I{A^2} + I{B^2} - I{C^2} + 2I{D^2}\).

Khi đó, \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M{I^2} = 0 \Leftrightarrow M \equiv I\).

Vậy toạ độ điểm \(M\) cần tìm là \(M\left( {4;\frac{{11}}{3};\frac{{11}}{3}} \right)\). Suy ra \(a = 4;b = \frac{{11}}{3};c = \frac{{11}}{3}\).

Vậy \(P = \frac{{ab}}{c} = 4\).

 Đáp án cần nhập là: \(4\).

Tập xác định: \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\].

Xét hàm số \(y = 2x + \frac{5}{{{x^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có hàm số \(y = 2x + \frac{5}{{{x^2}}}\) xác định \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(y' = 2 - \frac{{10}}{{{x^3}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow 2 - \frac{{10}}{{{x^3}}} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5}\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2x + \frac{5}{{{x^2}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là \(3\sqrt[3]{5}\). Chọn C.

Cạnh đáy của cái hộp không nắp là \(a - 2x\). Điều kiện: \(0 < x < \frac{a}{2}\).

Thể tích của cái hộp không nắp là \(V\left( x \right) = {\left( {a - 2x} \right)^2}x = 4{x^3} - 4a{x^2} + {a^2}x\).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = 4{x^3} - 4a{x^2} + {a^2}x\) trên \(\left( {0;\frac{a}{2}} \right)\).

\(V\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0;\frac{a}{2}} \right)\).

\(V'\left( x \right) = 12{x^2} - 8ax + {a^2}\).

\[V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} - 8ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{a}{6}\\x = \frac{a}{2}\end{array} \right.\]. Vì \(x \in \left( {0;\frac{a}{2}} \right)\) nên \(x = \frac{a}{6}\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên  đạt tại \(x = \frac{a}{6}\).

Khi đó, cạnh đáy của cái hộp là \(a - 2 \cdot \frac{a}{6} = \frac{{2a}}{3}\). Chọn A.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{2}{3}} \right\}\)

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=\frac{m+1}{3};\underset{x\to -\infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=\frac{m-1}{3}$

Đồ thị hàm số có một tiệm cận ngang là \(y = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{m - 1}}{3} = 3}\\{\frac{{m + 1}}{3} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 10}\\{m = 8}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy có 2 giá trị của \(m\). Chọn A.