Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội phần Toán có đáp án - Đề số 27

Ta có:\({\log _{xyz}}\left( {{y^3}{z^2}} \right) = 3{\log _{xyz}}y + 2{\log _{xyz}}z\)

\[ = \frac{3}{{{{\log }_y}\left( {xyz} \right)}} + \frac{2}{{{{\log }_z}\left( {xyz} \right)}}\]

\[ = \frac{3}{{{{\log }_y}x + {{\log }_y}z + 1}} + \frac{2}{{{{\log }_z}x + {{\log }_z}y + 1}}\]

\[ = \frac{3}{{{{\log }_y}x + {{\log }_y}z + 1}} + \frac{2}{{{{\log }_z}y \cdot {{\log }_y}x + {{\log }_z}y + 1}}\]

\[ = \frac{3}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1}} + \frac{2}{{\frac{b}{a} + b + 1}} = \frac{{3ab}}{{ab + a + b}} + \frac{{2a}}{{ab + a + b}} = \frac{{3ab + 2a}}{{ab + a + b}}\]. Chọn D.

Ta có \[ - 1 \le \sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}}} \right) \le 1,\,\,\forall t \in \left[ {0;\,24} \right) \Rightarrow  - 6 \le 6\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}}} \right) \le 6,\,\,\forall t \in \left[ {0;\,24} \right)\].

Suy ra \[74 \le B\left( t \right) = 80 + 6\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}}} \right) \le 86\,\,\forall t \in \left[ 0 \right.;\,\left. {24} \right)\].

Huyết áp tâm trương thấp nhất khi \[\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}}} \right) =  - 1 \Leftrightarrow t =  - 6 + 24k\]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì \[t \in \left[ 0 \right.;\,\left. {24} \right) \Rightarrow 0 \le  - 6 + 24k < 24 \Rightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\].

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\)\( \Rightarrow t = 18\)giờ \( \Rightarrow x = 18\).

Huyết áp tâm trương cao nhất khi \[\sin \left( {\frac{{\pi t}}{{12}}} \right) = 1 \Leftrightarrow t = 6 + 24k\]\(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\[t \in \left[ 0 \right.;\,\left. {24} \right) \Rightarrow 0 \le 6 + 24k < 24 \Rightarrow  - \frac{1}{4} < k < \frac{3}{4}\].

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0\)\( \Rightarrow t = 6\)giờ \( \Rightarrow y = 6\).

Vậy \[2x - y = 30\].

Đáp án cần nhập là: \(30\).

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình đã cho ta được

\({\log _2}\left( {{2^{{x^2}}} \cdot {5^{2x + m}}} \right) = {\log _2}3\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2x + m} \right){\log _2}5 - {\log _2}3 = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2{{\log }_2}5} \right)x + m{\log _2}5 - {\log _2}3 = 0\).

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1} + {x_2} = 2{x_1}{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\log _2^25 - m{\log _2}5 + {\log _2}3 > 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ - 2{\log _2}5 = 2m{\log _2}5 - 2{\log _2}3\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\).

\((1) \Leftrightarrow m{\log _2}5 < \log _2^25 + {\log _2}3 \Leftrightarrow m < \frac{{\log _2^25 + {{\log }_2}3}}{{{{\log }_2}5}} \Leftrightarrow m < {\log _2}5 + {\log _5}3 \approx 3,004\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\log _2}\frac{1}{5} = {\log _2}\frac{{{5^m}}}{3} \Leftrightarrow \frac{1}{5} = \frac{{{5^m}}}{3} \Leftrightarrow {5^{m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m =  - 1 + {\log _5}3 \approx  - 0,31\).

Vậy \(m =  - 1 + {\log _5}3\) là giá trị cần tìm. Chọn A.

Để có thể bao quát cả hình, ta sẽ lấy góc nhìn từ trên xuống.

Với mỗi ô vuông như hình trên, ta đánh số và mỗi số tượng trưng cho số hình lập phương \[1:1:1\] đơn vị được xếp chồng lên ô vuông đó.

Bằng cách đánh số như vậy và để cho thể tích hình khối này lớn nhất thì ở ô thứ 2 của cột 2 , hàng 3, có thể được robot xếp chồng thêm hai khối lập phương nữa vì khi đó hình dạng của hình khối khi nhìn từ các góc nhìn mà học sinh được nhìn vẫn không đổi.

Vậy thể tích lớn nhất của hình khối đó có thể là 17.

Đáp án cần nhập là: \(17\).

Cỡ mẫu \(n = 2 + 10 + 6 + 4 + 3 = 25\).

Gọi \({x_1},\,{x_2},\,...,\,{x_{25}}\) lần lượt là thời gian trả lời câu hỏi của học sinh được xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị là \({x_{13}}\).

Do giá trị \({x_{13}}\) thuộc nhóm \(\left[ {20,5;\,30,5} \right)\) nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó, trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} = 20,5 + \frac{{\frac{{25}}{2} - 12}}{6} \cdot 10 \approx 21,33\). Chọn B.

Ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = 1 - 3n - \left[ {1 - 3\left( {n - 1} \right)} \right] =  - 3,\forall n \ge 2\).

Do đó \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 1 - 3 \cdot 1 =  - 2\), công sai \(d =  - 3\). Chọn C.

Ta có \(y =  - 5\cos x\) \( \Rightarrow y' = 5\sin x \Rightarrow \,y'' = 5\cos x\).

 \(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\). Chọn C.

Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega  \right) = C_8^5 = 56\).

Gọi \(A\) là biến cố: “\(5\) học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ”.

Xét các khả năng xảy ra của biến cố \(A\).

Trường hợp 1: \(5\) học sinh được chọn gồm \(4\) nam và \(1\) nữ. Số cách chọn là \(C_5^4 \cdot C_3^1 = 15\).

Trường hợp 2: \(5\) học sinh được chọn gồm \(3\) nam và \(2\) nữ. Số cách chọn là \(C_5^3 \cdot C_3^2 = 30\).

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 45\).

Xác suất của biến cố \(A\) là \(p\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{45}}{{56}}\). Chọn C.