7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 24)

Ta có a² + b² = c² + d².

Suy ra a² + b² + c² + d² = 2(c² + d²) ⋮ 2   (1)

Xét A = (a² + b² + c² + d²) – (a + b + c + d).

= (a² – a) + (b² – b) + (c² – c) + (d² – d).

= a(a – 1) + b(b – 1) + c(c – 1) + d(d – 1).

Vì a và a – 1 là hai số nguyên liên tiếp nên tích a(a – 1) chia hết cho 2.

Tương tự như vậy, ta có b(b – 1) ⋮ 2, c(c – 1) ⋮ 2 và d(d – 1) ⋮ 2.

Khi đó A ⋮ 2   (2)

Từ (1), (2), suy ra a + b + c + d chia hết cho 2.

Mà a, b, c, d là các số nguyên dương.

Suy ra a + b + c + d > 2.

Vậy a + b + c + d là hợp số.

Ta có A = x³ + x²y – 3x² + xy + y² – 4y – x + 3.

= (x³ + x²y – 3x²) + (xy + y² – 3y) – (x + y – 3).

= x²(x + y – 3) + y(x + y – 3) – (x + y – 3).

= (x + y – 3)(x² + y – 1).

= (3 – 3)(x² + y – 1).

= 0.(x² + y – 1).

= 0.

Vậy A = 0 khi x + y = 3.

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).

Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: a × a.

Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:

(a – 7) × (a – 7) = a × a – 84.

a × a – 7 × a – 7 × a + 7 × 7 = a × a – 84.

–14 × a + 49 = –84.

14 × a = 133.

a = 133 : 14.

a = 9,5 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: 9,5 × 9,5 = 90,25 (m²).

Đáp số: 90,25 m².

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)²⁰ là

$a_k=C_{20}^k{.1}^{20-k}{.2}^k=C_{20}^k{.2}^k$, với k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 20.

Giả sử a_k là hệ số lớn nhất trong các hệ số a₀, a₁, a₂, ..., a₂₀.

Khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}{a}_k\ge a_{k+1}\\ a_k\ge a_{k-1}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{C}_{20}^k{.2}^k\ge C_{20}^{k+1}{.2}^{k+1}\\ C_{20}^k{.2}^k\ge C_{20}^{k-1}{.2}^{k-1}\end{array}\right.$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{20!}{\left(20-k\right)!.k!}\ge \frac{20!.2}{\left(20-k-1\right)!.\left(k+1\right)!}\\ \frac{20!}{\left(20-k\right)!.k!}\ge \frac{20!}{\left(20-k+1\right)!.\left(k-1\right)!.2}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{20-k}\ge \frac{2}{k+1}\\ \frac{2}{k}\ge \frac{1}{21-k}\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3k\ge 39\\ 42\ge 3k\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}k\ge 13\\ k\le 14\end{array}\right.\iff 13\le k\le 14$

Mà k ∈ ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14.

Với k = 13, ta có $a_{13}=C_{20}^{13}{.2}^{13}=635043840$ . 

Với k = 14, ta có $a_{14}=C_{20}^{14}{.2}^{14}=635043840$  .

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰ là 635 043 840.

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).

Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: a × a.

Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:

(a – 7) × (a – 7) = a × a – 84.

a × a – 7 × a – 7 × a + 7 × 7 = a × a – 84.

–14 × a + 49 = –84.

14 × a = 133.

a = 133 : 14.

a = 9,5 (m).

Đáp số: 9,5 m.

Ta có A = –2x² + 12x – 11.

= –2(x² – 6x + 9) + 7.

= –2(x – 3)² + 7.

Ta có (x – 3)² ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇒ –2(x – 3)² ≤ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇒ –2(x – 3)² + 7 ≤ 7, ∀x ∈ ℝ.

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 3.

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 7 khi và chỉ khi x = 3.

a) A = 2x² + 12x + 11.

= 2(x² + 6x + 9) – 7.

= 2(x + 3)² – 7.

Ta có (x + 3)² ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ 2(x + 3)² ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ 2(x + 3)² – 7 ≥ –7, ∀x ∈ ℝ.

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = –3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng –7 khi và chỉ khi x = –3.

b) B = –x² + 18x + 19.

= –(x² – 18x + 81) + 100.

= –(x – 9)² + 100.

Ta có (x – 9)² ≥ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ –(x – 9)² ≤ 0, ∀x ∈ ℝ.

⇔ –(x – 9)² + 100 ≤ 100, ∀x ∈ ℝ.

Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 9.

Vậy giá trị lớn nhất của B bằng 100 khi và chỉ khi x = 9.