7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 64)

\[\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \sin x} dx} = \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 + \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right)} dx} \]

\[ = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} dx} \]

\[ = \sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} \right|dx} \]

Đặt \[u = \frac{\pi }{4} - \frac{x}{2} \Rightarrow du = \frac{{ - 1}}{2}dx\]

Ta được:

I = \(\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \frac{x}{2}} \right)} \right|dx} = - = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos u} \right|du} \)

\( = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos u} \right|du} \)

\( = 2\sqrt 2 \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\cos udu} \)

\( = 2\sqrt 2 \sin u\left| {_{\frac{{ - \pi }}{2}}^{\scriptstyle\frac{\pi }{2}\atop\scriptstyle}} \right.\)

\( = 4\sqrt 2 \).

Để\(\sqrt {9 - 3a} \)có nghĩa thì 9 – 3a ≥ 0 hay a ≤ 3.

Hai đường thẳng không có điểm chung nào được gọi là hai đường thẳng song song.

Hàm số có hệ số a = 1 > 0, trục đối xứng x = \(\frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - 2\left( {b + 6} \right)}}{2} = - b - 6\)

Hàm số đồng biến trên (6; +∞) thì (6; +∞) ⸦ (–b – 6; +∞).

Hay –b – 6 ≤ 6

Suy ra: b ≥ –12.

A = \(\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \int {\frac{{\cos xdx}}{{{{\cos }^2}x}} = \int {\frac{{\cos xdx}}{{1 - {{\sin }^2}x}}} } \)

Đặt sinx = t (–1 ≤ t ≤ 1)

Suy ra: cosxdx = dt

A = \(\int {\frac{{dt}}{{1 - {t^2}}} = } \int {\frac{{dt}}{{\left( {1 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} = \frac{1}{2}\int {\left( {\frac{1}{{1 - t}} + \frac{1}{{1 + t}}} \right)dt = \frac{1}{2}\left( { - \ln \left| {1 - t} \right| + \ln \left| {1 + t} \right|} \right)} } \)

Vậy \(\int {\frac{{dx}}{{\cos x}}} = \frac{1}{2}\left[ { - \ln \left( {1 - \sin x} \right) + \ln \left( {1 + \sin x} \right)} \right]\).

(x – 1)(x – 2)(x – 4)(x – 8) = 70x²

⇔ [(x – 1)(x – 8)][(x – 2)(x – 4)] = 70x²

⇔ (x² – 9x + 8)(x² – 6x + 8) = 70x²

⇔ \(\frac{{{x^2} - 9x + 8}}{x}.\frac{{{x^2} - 6x + 8}}{x} = 70\)

⇔ \(\left( {x - 9 + \frac{8}{x}} \right)\left( {x - 6 + \frac{8}{x}} \right) = 70\)

Đặt \(x + \frac{8}{x} = t\)

Ta có: (t – 9)(t – 6) – 70 = 0

⇔ t² – 15t – 16 = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}t = 16\\t = - 1\end{array} \right.\)

Với t = 16 ta có: \(x + \frac{8}{x} = 16\)

⇔ x² – 16x + 8 = 0

⇔ (x – 8)² = 56

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 8 + \sqrt {56} \\x = 8 - \sqrt {56} \end{array} \right.\)

Với t = –1 ta có: \(x + \frac{8}{x} = - 1\)

⇔ x² + x + 8 = 0

⇔ \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} = 0\)

Ta thấy: \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{31}}{4} > 0,\forall x\) nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(x = 8 + \sqrt {56} \) hoặc \(x = 8 - \sqrt {56} \).