Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 50)

Đáp án đúng là: A

Số tự nhiên có 2 chữ số là: \(C_9^1.C_{10}^1 = 90\) (số).

\(\Omega :\) “Chọn ngẫu nhiên 2 số từ tập hợp S” ⇒ \({n_\Omega } = C_{90}^2\)

A: “Chọn được 2 số có chữ số hàng đơn vị giống nhau”.

· TH1: Chữ số hàng đơn vị là 0 ⇒ Có 9 chữ số là: 10; 20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90.

⇒ Số cách chọn 2 số là: \(C_9^2.\)

Tương tự với các số có chữ số hàng đơn vị là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

⇒ Có tất cả 10 trường hợp giống nhau.

⇒ \({n_A} = 10.C_9^2\)

⇒ \({P_A} = \frac{{10.C_9^2}}{{C_{90}^2}} = \frac{8}{{89}}.\)

Vì S là tập hợp các số tự nhiên có hai chữ số nên tập S là tập hợp các số tự nhiên lớn hơn 9 và nhỏ hơn 100.

Do đó: S = {x | x là số tự nhiên và 9 < x < 100}.

Nhận thấy: 15; 99 là phần tử của S, 7; 106 không là phần tử của S

Vậy 7 ∉ S; 15 ∈ S; 106 ∉ S; 99 ∈ S.

Đáp án đúng là: C

ĐK: x > 0.

Đặt \(t = {\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)\) (vì \(1 + \sqrt x > 1\) ⇒ \(t = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right) > 0\))

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{1 + \sqrt x = {2^t}}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{x = {{\left( {{2^t} - 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

⇒ \({3^t} = {\left( {{2^t} - 1} \right)^2}\) ⇔ \({3^t} = {4^t} - {2.2^t} + 1\) ⇔ \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\)

⇔ \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} = 1\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\) trên (0; +∞) có:

\(f'\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}\ln \frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{4}\)

\( = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}\ln \frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}\ln \frac{1}{2} + 2.{\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\ln \frac{1}{2}\)

Mà \(\ln \frac{3}{4} < 0,\,\,\ln \frac{1}{2} < 0\) nên \(f'\left( t \right) < 0,\) ∀t > 0.

Do đó hàm số f(t) nghịch biến trên (0; +∞).

Dễ thấy f(2) = 1 nên phương trình f(t) = 1 có nghiệm duy nhất t = 2.

Suy ra \({\log _3}x = 2\) ⇔ x = 9.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 9.

Đặt \({\log _2}x = 6t\) ⇒ x = 2^6t.

Thay vào phương trình ta có:

\(3{\log _3}\left( {1 + {2^{3t}} + {2^{2t}}} \right) = 2{\log _2}\left( {{2^{3t}}} \right) = 6t\)

⇔ \({\log _3}\left( {1 + {2^{3t}} + {2^{2t}}} \right) = 2t\)

⇔ \(1 + {2^{3t}} + {2^{2t}} = {3^{2t}}\)

⇔ \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{8}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} = 1\) (chia cả 2 vế cho 3^2t)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{1}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{8}{9}} \right)^t} + {\left( {\frac{4}{9}} \right)^t} - 1\).

Ta thấy f(2) = 0.

Vì f(t) là hàm nghịch biến nên phương trình f(t) = 0 có 1 nghiệm duy nhất.

Suy ra t = 2 là nghiệm duy nhất.

Ta có: t = 2 ⇔ \({\log _2}x = 6.2 = 12\)

⇒ \(x = {2^{12}} = 4096\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4096.

Đồ thị hàm số đi qua A và B nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b + c + d = - 7}\\{8a + 4b + 2c + d = - 8}\end{array}} \right.\)

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{d = - 7 - a - b - c}\\{7a + 3b + c = - 1\,\,\,\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 (hoành độ của A và B) nên

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + 2b + c = 0\,\,\left( 2 \right)}\\{12a + 4b + c = 0\,\,\left( 3 \right)}\end{array}} \right.\)

Từ (1), (2) và (3) ta có a = 2; b = −9; c = 12 ⇒ d = −12

Khi đó y(−1) = −a + b – c + d = −35.

Vậy y(−1) = −35.

Đáp án đúng là: A.

Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) ⇒ a < 0.

Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ y₀ = −3 ⇒ d < 0.

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị trái dấu nên \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có 2 nghiệm trái dấu

⇒ 3ac < 0 ⇒ c > 0

Hoành độ điểm uốn nằm bên phải trục tung nên \(y'' = 6ax + 2b = 0\) có nghiệm dương

⇒ \(x = \frac{{ - b}}{{3a}} > 0\) ⇔ \(\frac{b}{a} < 0\) ⇒ b > 0

Vậy a < 0, b > 0, c > 0, d < 0.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là y = 0.

Xét ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba đường thẳng d₁, d₂, d₃.

Ta có: A(t, 4 – t, -1 + 2t); B(u, 2 – 3u, -3u); C(-1 + 5v, 1 + 2v, – 1 + v).

A, B, C thẳng hàng và AB = BC ⇔ B là trung điểm của AC

⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + \left( { - 1 + 5v} \right) = 2u}\\{4 - t + \left( {1 + 2v} \right) = 2.\left( {2 - 3u} \right)}\\{ - 1 + 2t + \left( { - 1 + v} \right) = 2.\left( { - 3u} \right)}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được: t = 1, u = 0, v = 0.

Suy ra A(1; 3; 1); B(0; 2; 0); C(-1; 1; -1).

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, B, C có phương trình là: \(\frac{x}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{1}.\)