\[ = \sqrt {{{\left( {\frac{{a + b}}{{ab}}} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}} - \frac{{2\left( {a + b} \right)}}{{ab}}\,.\,\frac{1}{{a + b}}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {\frac{{a + b}}{{ab}} - \frac{1}{{a + b}}} \right)}^2}} \]

\[ = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{{a + b}}} \right)}^2}} \]

\[ = \left| {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{{a + b}}} \right|\].

Vậy \[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} = \left| {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{{a + b}}} \right|\] (đpcm).

Câu 2

Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có a + b + c = 0 Þ a + b = −c

Suy ra \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{{a^2}{b^2} + 2a{b^3} + {b^4} + {a^4} + 2{a^3}b + {a^2}{b^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\( = \frac{{{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2} + {a^2}{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {ab} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\)

\[ = \frac{{{a^4} + 2a{b^3} + 2{a^3}b + 3{a^2}{b^2} + {b^4}}}{{{a^2}{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\[ = \frac{{{{\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}\]

\[ = {\left( {\frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}} \right)^2}\] là bình phương của một số hữu tỉ.

Câu 3

Cho biểu thức: \[A = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 8x} \].

a) Rút gọn A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

a) ĐKXĐ: x ¹ 0

\[A = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 8x} \]

\[ = \sqrt {\frac{{{x^4} - 6{x^2} + 9 + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{x^2} + 4x + 4 - 8x} \]

\[ = \sqrt {\frac{{{x^4} + 6{x^2} + 9}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{x^2} - 4x + 4} \]

\[ = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} + 3} \right)}^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} \]

\[ = \left| {\frac{{{x^2} + 3}}{x}} \right| + \left| {x - 2} \right|\]

\[ = \left| {x + \frac{3}{x}} \right| + \left| {x - 2} \right|\]

b) Để A Î ℤ thì \[\left| {x + \frac{3}{x}} \right| + \left| {x - 2} \right| \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \frac{3}{x} \in \mathbb{Z}\]

Þ x Î Ư(3) = {± 1; ± 3}.

Vậy x Î {±1; ±3} thì A đạt giá trị nguyên.

Câu 4

Cho biểu thức: \(P = \left( { - \frac{2}{3}{x^2}{y^3}{z^2}} \right){\left( { - \frac{1}{2}xy} \right)^3}{\left( {x{y^2}z} \right)^2}\).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm bậc và hệ số biểu thức B.

c) Tìm giá trị các biến để P £ 0.

Xem đáp án

Lời giải

a) Ta có \(P = \left( { - \frac{2}{3}{x^2}{y^3}{z^2}} \right){\left( { - \frac{1}{2}xy} \right)^3}{\left( {x{y^2}z} \right)^2}\)

\( = - \frac{2}{3}{x^2}{y^3}{z^2}\,.\, - \frac{1}{8}{x^3}{y^3}{x^2}{y^4}{z^2}\)

\[ = \left[ {\left( { - \frac{2}{3}} \right)\,.\,\left( { - \frac{1}{8}} \right)} \right]\left( {{x^2}\,.\,{x^3}\,.\,{x^2}} \right)\left( {{y^3}\,.\,{y^3}\,.\,{y^4}} \right)\left( {{z^2}\,.\,{z^2}} \right)\]

\[ = \frac{1}{{12}}{x^7}{y^{10}}{z^4}\].

b) Hệ số của biểu thức B là \(\frac{1}{{12}}\) và B có bậc là 21.

c) Để P £ 0 thì \[\frac{1}{{12}}{x^7}{y^{10}}{z^4} \le 0 \Rightarrow {x^7} \le 0 \Rightarrow x \le 0\] (do y¹⁰, z⁴ ³ 0; "y, z Î ℝ)

Vậy x £ 0; y, z Î ℝ.

Câu 5

Chứng minh: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} ,\;\forall a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}\).

Xem đáp án

Lời giải

Bất đẳng thức cần chứng minh

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2\sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \ge {\left( {a + c} \right)^2} + {\left( {b + d} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow ac + bd \le \sqrt {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{c^2} + {d^2}} \right)} \) (1)

• Nếu ac + bd < 0: BĐT luôn đúng

• Nếu ac + bd ³ 0 thì (1) tương đương

(ac + bd)² £ (a² + b²)(c² + d²)

Û (ac)² + (bd)² + 2abcd £ (ac)² + (ad)² + (bc)² + (bd)²

Û (ad)² + (bc)² − 2abcd ³ 0

Û (ad − bc)² ³ 0 (luôn đúng).

Vậy bài toán được chứng minh.

Câu 6

Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 38)

🔥 Đề thi HOT:

5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)

80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)

80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)

148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)

140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)

238 câu Bài tâp Nguyên Hàm, Tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải (P1)

15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)

Nội dung liên quan:

237 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi Đại học có lời giải

240 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

215 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit cơ bản, nâng cao có lời giải

175 câu Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải

225 Bài tập Số phức ôn thi Đại học có lời giải

250 câu Bài tập Tích phân ôn thi Đại học có lời giải

213 câu Bài tập Tích phân cơ bản, nâng cao có lời giải

299 Bài trắc nghiệm hàm số mũ, hàm số Logarit siêu hay có lời giải chi tiết

255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải

71 Bài trắc nghiệm Khối đa diện trong đề thi Đại học cực hay có lời giải

Danh sách câu hỏi:

Cho \(\left\{ \begin{array}{l}a + b \ne 0\\a;\;b \ne 0\end{array} \right.\). Chứng minh rằng: \[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}} = \left| {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{{a + b}}} \right|\].

Cho a, b, c là các số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}\) là bình phương của một số hữu tỉ.

Cho biểu thức: \[A = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 8x} \]. a) Rút gọn A. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Cho biểu thức: \(P = \left( { - \frac{2}{3}{x^2}{y^3}{z^2}} \right){\left( { - \frac{1}{2}xy} \right)^3}{\left( {x{y^2}z} \right)^2}\). a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm bậc và hệ số biểu thức B. c) Tìm giá trị các biến để P £ 0.

Chứng minh: \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} ,\;\forall a,\;b,\;c,\;d \in \mathbb{R}\).

Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.

Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số khác nhau và nhất thiết phải có chữ số 1 và 5?

Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 5 và tổng 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng tổng quát un.

Cho dãy số (un) là một cấp số cộng, biết u2 + u21 = 50. Tính tổng của 22 số hạng đầu của dãy.

Tìm số mặt cầu chứa một đường tròn cho trước.

Có bao nhiêu mặt cầu chứa một đường tròn cho trước?

Tìm x, biết: 4x + 5 chia hết cho x + 1.

Tìm x biết: 4x − 5 chia hết cho x – 1.

Cho \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } \right) = 3\). Tính giá trị của biểu thức E = x + y.

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt x = 2y\\{y^2} + \sqrt y = 2x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) ¹ (0; 0)?

Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy ( ABCD) một góc 45°. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.

Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a và b. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho một mặt phẳng (P) và hai đường thẳng song song a, b. Mệnh đề nào sau đây là sai?

Cho hình 39. a) Chứng minh ΔABD = ΔACD. b) So sánh góc DBC và góc DCB.

Cho tam giác ABC có AB = AC và D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB. a) Chứng minh DABD = DACD. b) Chứng minh rằng AM = 2.BD. c) Tính số đo \[\widehat {MAD}\].

Tính giá trị biểu thức: B = (3x + 5)(2x − 1) + (4x − 1)(3x − 2) với |x| = 2.

Rút gọn và tính giá trị: A = (3x + 5)(2x − 1) − (1 − 4x)(3x + 2) tại |x| = 2.

Khi quay 1 hình tam giác vuông một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định ta được hình:

Chọn đáp án đúng điền vào chỗ trống: “Khi quay ……… một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định, ta được hình nón”

Một nhà máy sản xuất các hộp hình trụ kín cả hai đầu có thể tích V cho trước. Mối quan hệ giữa bán kính đáy R và chiều cao h của hình trụ để diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất là?

Tìm m để phương trình log2 x + log x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1).

Tìm m để phương trình \(\log _2^2\left( x \right) - {\log _2}\left( {{x^2}} \right) + 3 = m\) có nghiệm x Î [1; 8].

Tìm tất cả các giá trị của b để hàm số y = x2 + 2(b + 6)x + 4 đồng biến trên khoảng (6; +∞).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 2mx2 + m2x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1.

Tính \(x = \sqrt[3]{{2 - \sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 3 }}\).

Rút gọn biểu thức: \(A = \sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } \).

Xác định hàm số bậc hai y = ax2 − x + c biết đồ thị hàm số đi qua A(1; −2) và B(2; 3).

Cho \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 3} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 3} } \right) = 3\). Tính giá trị của biểu thức E = x + y.

Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \sqrt x = 2y\\{y^2} + \sqrt y = 2x\end{array} \right.\) có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) ¹ (0; 0)?

Cho \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]. Tính x + y.

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 10x4 + 8y4 − 15xy + 6x2 +5y2 + 2017.

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm y = f ′(x) như hình bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hàm số y = f (x) liên tục trên ℝ và có đồ thị ở hình bên. Số nghiệm dương phân biệt của phương trình \(f\left( x \right) = - \sqrt 3 \) là:

Giải phương trình 2x2 + y2 − 6x + 2xy − 2y + 5 = 0.

Giải phương trình 2x2 + y2 − 2xy − 6x + 9 = 0.

Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng: a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc. b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].

Hình thang ABCD có đáy AB, CD. a) Cho biết AD // BC. Chứng minh rằng AD = BC, AB = CD. b) Cho biết AB = CD. Chứng minh rằng AD // BC, AD = BC.

Cho biểu thức: M = (x − 3)3 − (x + 1)3 + 12x(x − 1). a) Rút gọn M. b) Tính giá trị M tại \(x = - \frac{2}{3}\). c) Tìm x để M = −16.

Rút gọn: (x − 3)3 − (x + 1)3 + 12x(x − 1).

Cho a, b, c Î ℝ thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1. Tính a2012 + b2013 + c2014.

Cho a; b; c là các số thực không âm có: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

Cho a + b + c = 1, a2 + b2 + c2 = 1, a3 + b3 + c3 = 1. Tính M = abc.

Phân tích thành nhân tử: a) A = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a) b) B = a(b2 − c2) + b(c2 − a2) + c(a2 − b2) c) C = (a + b + c)3 − a3 − b3 − c3

Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3.

Giải bất phương trình (n Î ℕ): \(\frac{{C_{n + 1}^2}}{{C_n^2}} \ge \frac{3}{{10}}n\).

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn: \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\).

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng: \(\sqrt {5a + 1} + \sqrt {5b + 1} + \sqrt {5c + 1} \le 2\sqrt 6 \).

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: \(\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \le \sqrt {\frac{{a + b + c}}{3}} \).

Cho x2 + y2 + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của A = x2 − xy + 2y2.

Cho x, y không âm thỏa mãn: x2 + y2 = 2. Tìm GTNN, GTLN của \(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}}\).

Cho tam giác vuông ABC vuông tại A có BC = 20 cm; AC = 12 cm. Quay tam giác ABC cạnh AB ta được một hình nón có thể tích là bao nhiêu?

Tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b. Gọi ℓa là độ dài đoạn phân giác trong góc \(\widehat {BAC}\). Tính ℓa theo b và c.

Cho tam giác ABC có A(3; 3), B(2; 1), C(5; 1). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Cho biểu thức: \[A = \sqrt {\frac{{{{\left( {{x^2} - 3} \right)}^2} + 12{x^2}}}{{{x^2}}}} + \sqrt {{{\left( {x + 2} \right)}^2} - 8x} \].

a) Rút gọn A.

b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên.

Cho biểu thức: \(P = \left( { - \frac{2}{3}{x^2}{y^3}{z^2}} \right){\left( { - \frac{1}{2}xy} \right)^3}{\left( {x{y^2}z} \right)^2}\).

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm bậc và hệ số biểu thức B.

c) Tìm giá trị các biến để P £ 0.

Cho một cấp số cộng (u_n) có u₁ = 5 và tổng 50 số hạng đầu bằng 5150. Tìm công thức của số hạng tổng quát u_n.

Cho dãy số (u_n) là một cấp số cộng, biết u₂ + u₂₁ = 50. Tính tổng của 22 số hạng đầu của dãy.

Cho hình 39.

a) Chứng minh ΔABD = ΔACD.

b) So sánh góc DBC và góc DCB.

Cho tam giác ABC có AB = AC và D là trung điểm của BC. Gọi E là trung điểm của AC, trên tia đối của tia EB lấy điểm M sao cho EM = EB.

a) Chứng minh DABD = DACD.

b) Chứng minh rằng AM = 2.BD.

c) Tính số đo \[\widehat {MAD}\].

Tìm m để phương trình log² x + log x − m = 0 có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (0; 1).

Tìm tất cả các giá trị của b để hàm số y = x² + 2(b + 6)x + 4 đồng biến trên khoảng (6; +∞).

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x³ − 2mx² + m²x + 2 đạt cực tiểu tại x = 1.

Xác định hàm số bậc hai y = ax² − x + c biết đồ thị hàm số đi qua A(1; −2) và B(2; 3).

Cho 2 số thực x, y thỏa mãn \[\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 1\]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 10x⁴ + 8y⁴ − 15xy + 6x² +5y² + 2017.

Cho hàm số y = f (x) có đồ thị đạo hàm y = f ′(x) như hình bên.

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Giải phương trình 2x² + y² − 6x + 2xy − 2y + 5 = 0.

Giải phương trình 2x² + y² − 2xy − 6x + 9 = 0.

Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:

a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.

b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].

Hình thang ABCD có đáy AB, CD.

a) Cho biết AD // BC. Chứng minh rằng AD = BC, AB = CD.

b) Cho biết AB = CD. Chứng minh rằng AD // BC, AD = BC.

Cho biểu thức: M = (x − 3)³ − (x + 1)³ + 12x(x − 1).

a) Rút gọn M.

b) Tính giá trị M tại \(x = - \frac{2}{3}\).

c) Tìm x để M = −16.

Rút gọn: (x − 3)³ − (x + 1)³ + 12x(x − 1).

Cho a, b, c Î ℝ thỏa mãn a² + b² + c² = a³ + b³ + c³ = 1.

Tính a²⁰¹² + b²⁰¹³ + c²⁰¹⁴.

Cho a; b; c là các số thực không âm có: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

3(a³ + b³ + c³) ³ a² + b² + c².

Cho a + b + c = 1, a² + b² + c² = 1, a³ + b³ + c³ = 1. Tính M = abc.

Phân tích thành nhân tử:

a) A = ab(a − b) + bc(b − c) + ca(c − a)

b) B = a(b² − c²) + b(c² − a²) + c(a² − b²)

c) C = (a + b + c)³ − a³ − b³ − c³

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:

\(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n = 243\).

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\sqrt {5a + 1} + \sqrt {5b + 1} + \sqrt {5c + 1} \le 2\sqrt 6 \).

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

\(\sqrt {\frac{{{a^3}}}{{5{a^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{b^3}}}{{5{b^2} + {{\left( {c + a} \right)}^2}}}} + \sqrt {\frac{{{c^3}}}{{5{c^2} + {{\left( {a + b} \right)}^2}}}} \le \sqrt {\frac{{a + b + c}}{3}} \).

Cho x² + y² + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của A = x² − xy + 2y².

Cho x, y không âm thỏa mãn: x² + y² = 2. Tìm GTNN, GTLN của

\(A = \frac{{{x^2} + {y^2} + 1}}{{xy + 1}}\).

Tam giác ABC vuông tại A, có AB = c, AC = b. Gọi ℓ_a là độ dài đoạn phân giác trong góc \(\widehat {BAC}\). Tính ℓ_a theo b và c.

Cho a, b, c là các số dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\[\frac{{bc}}{{b + c + 2a}} + \frac{{ca}}{{c + a + 2b}} + \frac{{ab}}{{a + b + 2c}} \le \frac{{a + b + c}}{4}\].

Giải phương trình: sin² 2x − sin 2x − 2 = 0.

Giải phương trình: sin 2x + sin² x = 1

Tìm GTNN của biểu thức:

a) A = x² − 6x + 11;

b) B = x² − 20x + 101.

Tìm GTNN của biểu thức: A = −x² + 6x – 11.

Khai triển (1 + 2x)¹⁰ = a₀ + a₁x + a₂x² + … + a₁₀x¹⁰. Tìm a₇.

Tìm hệ số của x⁷ trong khai triển biểu thức f (x) = (1 − 2x)¹⁰.

Cho hai số hữu tỉ \(\frac{a}{b}\) và \(\frac{c}{d}\;\left( {b > 0,\;d > 0} \right)\). Chứng tỏ rằng:

a) Nếu \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\] thì ad < bc.

b) Nếu ad < bc thì \[\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\].

Tính giá trị biểu thức A = (x − 3)² − (x + 1)² + 12x(x − 1) với \(x = - \frac{1}{2}\).

Cho biểu thức: A = (x − 3)² − (x + 1)² + 12x(x − 1).

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A tại \(x = - \frac{2}{3}\).

c) Tìm x để A = −16.