Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0}\\{\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{[\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ].\overrightarrow {AH} = 0}\end{array}} \right.\)

Ta giả sử \(H(x,y,z)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BC} = (0; - 3; - 4)\\\overrightarrow {AC} = ( - 2;0; - 4)\\\overrightarrow {AH} = (x - 2;y;z)\\\overrightarrow {BH} = (x;y - 3;z)\\\overrightarrow {AB} = ( - 2;3;0)\end{array}\)

Vì \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow 3y + 4z = 0\) (1)

Vì \(\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow x + 2z = 0\) (2)

Ta có: \([\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = ( - 12; - 8;6)\)

Suy ra \[\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cdot \overrightarrow {AH} = 0\]

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 12(x - 2) - 8y + 6z = 0\\ \Leftrightarrow - 6x - 4y + 3z + 12 = 0\end{array}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3y + 4z = 0}\\{x + 2z = 0}\\{ - 6x - 4y + 3z + 12 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{72}}{{61}}}\\{y = \frac{{48}}{{61}}}\\{z = \frac{{ - 36}}{{61}}}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(H\left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{61}};\frac{{ - 36}}{{61}}} \right)\)

Do đó \(\overrightarrow {OH} = \left( {\frac{{72}}{{61}};\frac{{48}}{{61}};\frac{{ - 36}}{{61}}} \right)\) là vecto chỉ phương của OH

Chọn \(\vec u = (6,4, - 3)\) là VTCP của OH và OH qua O(0; 0; 0) nên phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 4t\\z = - 3t\end{array} \right.\)

Vậy đáp án cần chọn là C.

Câu 2

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, đồng thời chia hết cho 9.

Xem đáp án

Lời giải

Ta thấy tổng 5 chữ số nhỏ nhất là 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Tổng 5 chữ số lớn nhất là 3 + 4 + 5 + 6 + 7 =25

Do đó tổng của 5 chữ số luôn nằm nữa 15 và 25. Do đó tổng đó chia hết cho 9 nên nó chỉ có thể là 18

Mặt khác tổng của 7 chữ số là 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Để có được tổng 18 ta cần loại đi 2 chữ số có tổng bằng 28 – 18 = 10

Do đó có các trường hợp: loại cặp 3; 7 còn 5 số 1; 2 ; 4; 5; 6 hoặc loại cặp 4; 6 còn 5 số 1; 2; 3; 5; 7

Số số thỏa mãn là: 3 . 4! + 1 . 4! = 96 số

Vậy ta lập được 96 số.

Câu 3

Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0?

A. (x – 1)²(x + 5) > 0

B. x²(x + 5) > 0

C. \(\sqrt {x + 5} \left( {x + 5} \right) > 0\)

D. \(\sqrt {x + 5} \left( {x - 5} \right) > 0\).

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình \({\rm{x}} + 5 > 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} > - 5\)

Bất phương trình \({({\rm{x}} - 1)^2}({\rm{x}} + 5) > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x > - 5\end{array} \right.\) nên phương án A sai

Bất phương trình \({x^2}(x + 5) > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\{x > - 5}\end{array}} \right.\) nên phương án B sai

Bất phương trình \(\sqrt {{\rm{x}} + 5} ({\rm{x}} + 5) > 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} > - 5\) nên phương án \({\rm{C}}\)đúng

Bất phương trình \(\sqrt {x + 5} \left( {x - 5} \right) > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 5 > 0}\\{x - 5 > 0}\end{array} \Leftrightarrow x > 5} \right.\) nên phương án D sai

Vậy đáp án cần chọn là C.

Câu 4

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [–π; 2π] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là:

A. 4

B. 6

C. 3

D. 8.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình \(2f(\sin x) + 3 = 0 \Leftrightarrow f(\sin x) = - \frac{3}{2}\quad (*)\) có nghiệm trên [–π; 2π]

⇔ Đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(\sin x)\) tại các điểm trên [–π; 2π]

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow x \in [ - \pi ;2\pi ] \Rightarrow t \in [ - 1;1]\)

Ta có bảng biến thiên:

Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3 (ảnh 2)

Dựa vào bảng biến thiên ta có: đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = f(t) tại hai điểm phân biệt

Ta có \((*) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sin x = {t_1} \in (0;1)}\\{\sin x = {t_2} \in ( - 1;0)}\end{array}} \right.\)

Số nghiệm thuộc đoạn [-pi; 2pi] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là: A. 4 B. 6 C. 3 (ảnh 3)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy:

+) Đường thẳng y = t₁ cắt đồ thị hàm số y = sinx tại hai điểm phân biệt trong [–π; 2π]

+) Đường thẳng y = t₁ cắt đồ thị hàm số y = sinx tại bốn điểm phân biệt trong [–π; 2π]

Như vậy đường thẳng \(y = - \frac{3}{2}\) cắt đồ thị hàm số \(y = f(\sin x)\) tại 6 điểm phân biệt trên [–π; 2π]

Suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt

Vậy đáp án cần chọn là B.

Câu 5

Cho biết \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25co{{\rm{s}}^3}\alpha }}\).

A. \(\frac{{89}}{{891}}\)

B. \(\frac{{89}}{{159}}\)

C. \(\frac{{89}}{{459}}\)

D. \( - \frac{{89}}{{459}}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Vì \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) nên cosα ≠ 0

Chia cả từ và mẫu của \({\rm{M}}\) cho cos³α ta được:

\(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{27\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - 25\frac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}} = \frac{{{{\tan }^3}\alpha + 3}}{{27{{\tan }^3}\alpha - 25}}\)

Thay \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\) ta được \(M = \frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} + 3}}{{27 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^3} - 25}} = \frac{{ - 89}}{{459}}\)

Vậy đáp án cần chọn là D.

Câu 6

Cho hai tập khác rỗng A = (m – 1; 4]; B = (–2; 2m + 2), m ∈ ℝ. Tìm m để A ∩ B ≠ ∅.

A. –2 < m < 5

B. m > –3

C. –1 < m < 5

D. 1 < m < 5.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 73)

🔥 Đề thi HOT:

5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)

135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)

80 câu Bài tập Hình học Khối đa diện có lời giải chi tiết (P1)

80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)

148 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu từ đề thi Đại học có lời giải (P1)

140 câu Bài tập Hàm số mũ và Logarit cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải chi tiết (P1)

238 câu Bài tâp Nguyên Hàm, Tích phân cơ bản, nâng cao cực hay có lời giải (P1)

15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)

Nội dung liên quan:

237 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi Đại học có lời giải

240 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

215 câu Bài tập Hàm số mũ, logarit cơ bản, nâng cao có lời giải

175 câu Bài tập Số phức cơ bản, nâng cao có lời giải

225 Bài tập Số phức ôn thi Đại học có lời giải

250 câu Bài tập Tích phân ôn thi Đại học có lời giải

213 câu Bài tập Tích phân cơ bản, nâng cao có lời giải

299 Bài trắc nghiệm hàm số mũ, hàm số Logarit siêu hay có lời giải chi tiết

255 Bài trắc nghiệm Hàm số mũ và Logarit cơ bản nâng cao cực hay có lời giải

71 Bài trắc nghiệm Khối đa diện trong đề thi Đại học cực hay có lời giải

Danh sách câu hỏi:

Trong khôn gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; –4). Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Tìm phương trình tham số của đường thẳng OH trong các phương án sau:

Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau, đồng thời chia hết cho 9.

Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0?

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn [–π; 2π] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là:

Cho biết \(\tan \alpha = \frac{2}{3}\). Tính giá trị biểu thức \(M = \frac{{{{\sin }^3}\alpha + 3c{\rm{o}}{{\rm{s}}^3}\alpha }}{{27{{\sin }^3}\alpha - 25co{{\rm{s}}^3}\alpha }}\).

Cho hai tập khác rỗng A = (m – 1; 4]; B = (–2; 2m + 2), m ∈ ℝ. Tìm m để A ∩ B ≠ ∅.

Cho hai đường thẳng d và d’ song song có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đường thẳng d thành đường thẳng d’:

Cho \(\widehat {xOy} = 30^\circ \). Gọi A và B là hai điểm di động lần lượt trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Độ dài lớn nhất của đoạn OB bằng:

Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC. Đẳng thức nào sau đây sai?

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, \(\widehat {ACB} = 60^\circ \), cạnh BC = a, đường chéo A’B tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ là:

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Có bao nhiêu vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) cùng phương với \(\overrightarrow {MN} \)có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm đã cho.

Cho hai học sinh lớp A, ba học sinh lớp B và bốn học sinh lớp C xếp thành một hàng ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh nào lớp B. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng như vậy?

Khẳng định nào sau đây sai? Hai vectơ bằng nhau thì

Kết quả của phép tính 7,118 + 9,52 – 8,7 + 2,21 sau khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai là:

Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

Giá trị k để cung \(\alpha = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) thỏa mãn 10π < α < 11π là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; 3) và đường thẳng d: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 2}}{2}\). Đường thẳng đi qua A, vuông góc với d và cắt trục Oy có phương trình là:

Tập giá trị của hàm số y = cos2x là

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(0; 3), B(2; –1), C(–1; 5). Tìm giá trị của k để phép vị tự tâm A tỉ số k biến B thành C.

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có 8 điểm phân biệt. Hỏi từ các điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác?

Biết rằng phương trình \({\left[ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {9{\rm{x}}} \right)} \right]^2} + {\log _3}\frac{{{x^2}}}{{81}} - 7 = 0\) có hai nghiệm phân biệt x1; x2. Tính P = x1x2.

Chia số 120 thành bốn phần tỉ lệ với các số 2; 4; 8; 10. Các số đó theo thứ tự tăng dần là:

Số tổ hợp chập 9 của 9 phần tử là:

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x2 – 4x + m cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 3OB. Tính tổng T các phần tử của S.

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] của phương trình f(cosx) = –2 là:

Hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2m + 1}}\) xác định trên [0; 1) khi:

Biết \(I = \int\limits_0^4 {x\ln \left( {2{\rm{x}} + 1} \right)d{\rm{x}} = \frac{a}{b}\ln 3 - c} \), trong đó a, b, c là các số nguyên dường và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính S = a + b + c.

Cho hàm số \(y = \frac{{5{\rm{x}} + 9}}{{x - 1}}\) khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình nón đỉnh S, góc ở đỉnh bằng 120°, đáy là hình tròn (O; 3R). Cắt hình nón bởi mặt phẳng qua S và tạo với đáy góc 60°. Diện tích thiết diện là:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4 và AD = 3. Thể tích của khối trụ được tạo thành khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB bằng:

Cho hình thang vuông ABCD có đáy lớn AB = 4a, đáy nhỏ CD = 2a, đường cao AD = 3a; I là trung điểm của AD. Khi đó \(\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {I{\rm{D}}} \) bằng:

Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(BC = a\sqrt 3 \), M là trung điểm của BC và có \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}\). Tính cạnh AB, AC.

Cho tam giác đều ABC. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho tam giác ABC. Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \). Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương?

Có bao nhiêu số có 3 chữ số được lập thành từ các chữ số 3, 2, 1?

Gọi m là giá trị để hàm số \(y = \frac{{x - {m^2}}}{{x + 8}}\) có giá trị nhỏ nhất trên [0; 3] bằng – 2. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình 4x – m . 2x – m + 15 ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2]. Tính số phần tử của S.

Chọn phát biểu sai?

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Đường thẳng BC tạo với mặt phẳng (SAC) góc 30°. Tính diện tích tam giác ABC.

Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x\ln {\rm{x}}}}} d{\rm{x}} = \ln \left( {\ln a + b} \right)\) với a, b là các số nguyên dương. Tính P = a2 + ab + b2.

Cho hai số thực a và b với 1 < a < b. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Cho các số phức z thỏa mãn |z| = 4. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i)z + i là một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′ có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A′BD) và (ABCD) bằng 30°. Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (BCC’B’) một góc bằng 30°. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Cho tam giác ABC đều cạnh a, H là trung điểm của BC. Tính \(\left| {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {HC} } \right|\).

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [–π; 2π] của phương trình 2f(sinx) + 3 = 0 là:

Biết rằng phương trình \({\left[ {{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( {9{\rm{x}}} \right)} \right]^2} + {\log _3}\frac{{{x^2}}}{{81}} - 7 = 0\) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂. Tính P = x₁x₂.

Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho parabol (P): y = x² – 4x + m cắt Ox tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn OA = 3OB. Tính tổng T các phần tử của S.

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [0; 2π] của phương trình f(cosx) = –2 là:

Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương của tham số m sao cho bất phương trình 4^x – m . 2^x – m + 15 ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x ∈ [1; 2]. Tính số phần tử của S.

Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{x + 1}}{{{x^2} + x\ln {\rm{x}}}}} d{\rm{x}} = \ln \left( {\ln a + b} \right)\) với a, b là các số nguyên dương. Tính P = a² + ab + b².