a) Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA và \(\widehat {ABC} = \widehat {BC{\rm{D}}} = \widehat {C{\rm{D}}A} = \widehat {DAB} = 90^\circ \)

Ta có:

\(\widehat {MAN} = \widehat {MA{\rm{D}}} + \widehat {DAN} = 90^\circ \)

\(\widehat {BA{\rm{D}}} = \widehat {MA{\rm{D}}} + \widehat {MAB} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {DAN} = \widehat {BAM}\)

Xét tam giác ADN và tam giác ABM có

\(\widehat {A{\rm{D}}N} = \widehat {ABM}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AD = AB (chứng minh trên)

\(\widehat {DAN} = \widehat {BAM}\) (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADN = ∆ABM (g.c.g)

Do đó AM = AN, DN = BM (các cặp cạnh tương ứng)

Suy ra tam giác AMN cân tại A

Khi đó tam giác AMN vuông cân tại A

Xét tam giác AMN cân tại A có AP là đường cao nên AP đồng thời là phân giác

Do đó \(\widehat {NAP} = \widehat {MAP} = \frac{1}{2}\widehat {MAN} = \frac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \)

Vì ABCD là hình vuông có CA là đường chéo nên \(\widehat {AC{\rm{D}}} = \widehat {ACB} = \frac{{90^\circ }}{2} = 45^\circ \)

Xét ∆ACN và ∆PAN có

\(\widehat {NAP} = \widehat {NCA}\left( { = 45^\circ } \right)\)

\(\widehat {ANC}\) là góc chung

Suy ra (g.g)

Do đó \(\frac{{AN}}{{PN}} = \frac{{CN}}{{AN}}\)

Hay AN² = NC . NP

b) Xét tam giác APN và tam giác APM có

AP là cạnh chung

\(\widehat {PAN} = \widehat {PAM}\) (chứng minh câu a)

AN = AM (chứng minh câu a)

Suy ra ∆APN = ∆APM (c.g.c)

Do đó PM = PN (hai cạnh tương ứng)

Chu vi tam giác MCP là:

CM + MP + CP = CM + PN + CP = CM + PB + DN + CP

= CM + PB + BM + CP = (CM + BM) + (PB + CP) = CD + CB = 2BC

Chu vi hình vuông ABCD là: 4BC

Vậy tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD bằng \(\frac{{2BC}}{{4BC}} = \frac{1}{2}\)

c) Ta có: \[{{\rm{S}}_{ANQ}} = \frac{1}{2}AN.AQ = \frac{1}{2}A{\rm{D}}.NQ\]

Suy ra \(\frac{1}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{NQ}}{{AN.AQ}}\)

Do đó \(\frac{1}{{A{{\rm{D}}^2}}} = \frac{{N{Q^2}}}{{A{N^2}.A{Q^2}}}\)

Vì tam giác ANQ vuông tại A nên AN² + AQ² = NQ²

Suy ra \(\frac{1}{{A{{\rm{D}}^2}}} = \frac{{A{N^2} + A{Q^2}}}{{A{N^2}.A{Q^2}}} = \frac{1}{{A{N^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}}\)

Vì AD là cạnh hình vuông nên AD không đổi

Suy ra tổng \(\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}}\) không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC

Vậy tổng \(\frac{1}{{A{M^2}}} + \frac{1}{{A{Q^2}}}\) không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC.

a) Vì MP, MQ là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {MPO} = \widehat {MQO} = 90^\circ \)

Xét tứ giác MPOQ có \(\widehat {MPO} + \widehat {MQO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác MPOQ nội tiếp                      (1)

Xét (O) có AB là dây cung, I là trung điểm của AB nên OI ⊥ AB

Xét tứ giác MPOI có \(\widehat {MPO} + \widehat {MIO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác MPOI nội tiếp                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm M, P, O, I, Q cùng thuộc 1 đường tròn.

b) Vì 5 điểm M, P, O, I, Q cùng thuộc 1 đường tròn nên tứ giác IPMQ nội tiếp

Suy ra \(\widehat {PIM} = \widehat {PQM} = \widehat {MPQ}\)

Xét ∆PEM và ∆IPM có

\(\widehat {EPM} = \widehat {MIP}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {PME}\) là góc chung

Suy ra (g.g)

Do đó \(\frac{{ME}}{{PM}} = \frac{{PM}}{{IM}}\)

Suy ra MP² = ME . MI

c) Vì tứ giác IPMQ nội tiếp nên \(\widehat {IQH} = \widehat {IMP}\) (cùng chắn cung IP)

Vì AK // MP nên \(\widehat {IAH} = \widehat {IMP}\) (hai góc đồng vị)

Suy ra \(\widehat {IQH} = \widehat {IAH}\)

Do đó tứ giác AHIQ nội tiếp

Suy ra \(\widehat {AIH} = \widehat {AQH} = \widehat {QPA}\) (cùng chắn cung AI)

Mà \(\widehat {AQP} = \widehat {ABP}\) (cùng chắn cung AP)

Do đó \(\widehat {AIH} = \widehat {ABP}\), mà hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra IH // BP

Xét tam giác ABK có IH // BP và \(IA = IB = \frac{1}{2}AB\)

Suy ra IH là đường trung bình

Do đó KB = 2IH.