7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 45)

Gọi G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC

Ta có: x_G = \(\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 3 + 1}}{3} = 1\)

y_G = \(\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{2 + 2 + 5}}{3} = 3\)

Vậy trọng tâm của ABC là G(1; 3).

Vì M thuộc Ox nên giả sử M(a; 0)

\(\overrightarrow {AM} = \left( {a + 1; - 2} \right);\overrightarrow {AB} = \left( {6;6} \right)\)

Tam giác MAB vuông tại A nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB} = \overrightarrow 0 \)

⇔ (a + 1) . 6 + (–2) . 6 = 0

⇔ 6a + 6 – 12 = 0

⇔ a = 1

\(\overrightarrow {AM} = \left( {2; - 2} \right)\) ⇒ AM = \(\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \)

\(\overrightarrow {AB} = \left( {6;6} \right)\)⇒ AB = \(\sqrt {{6^2} + {6^2}} = 6\sqrt 2 \)

S_ABM = \(\frac{1}{2}.AM.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2 .6\sqrt 2 = 12\)(đvdt).

M = \(\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} = \left( {\frac{1}{{16{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\)(do x² + y² + z² = 1)

≥ \({\left( {\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + 1} \right)^2} = \frac{{49}}{{16}}\) (bất đẳng thức Bunhia)

Dấu “=” khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{1}{7}\\{y^2} = \frac{2}{7}\\{z^2} = \frac{4}{7}\end{array} \right.\) ⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{\sqrt 7 }}\\y = \sqrt {\frac{2}{7}} \\z = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\end{array} \right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là \(\frac{{49}}{{16}}\)khi \(x = \frac{1}{{\sqrt 7 }};y = \sqrt {\frac{2}{7}} ;z = \frac{2}{{\sqrt 7 }}\)

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \]

Vì số đã cho có chữ số hàng trăm là 5 nên b = 5

Số đã cho chia hết cho cả 2 và 5 nên phải có chữ số tận cùng là 0, hay d = 0

Khi đó ta có số \[\overline {a5c0} \]

Vì số cần tìm là số lớn nhất có 4 chữ số khác nhau nên suy ra a = 9 và c = 8.

Vậy số cần tìm là 9580.

2x² + y² + 9 = 6x + 2xy

⇔ 2x² + y² + 9 – 6x – 2xy = 0

⇔ (x – 3)² + (x – y)² = 0

Ta thấy: (x – 3)² + (x – y)² ≥ 0 với mọi x, y

Nên để đẳng thức xảy ra thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\x - y = 0\end{array} \right.\) ⇔ x = y = 3

Vậy x = y = 3.

Tổ 1 chăm sóc nhiều hơn tổ 2 số mét vuông rừng là:

2500 + 400 = 2900 (m²)

Lúc đầu tổ 2 chăm sóc số mét vuông rừng là:

(28500 – 2900) : 2 = 12800 (m²)

Lúc đầu tổ 1 chăm sóc số mét vuông rừng là:

28500 – 12800 = 15700 (m²).

Giả sử a + b + c + d = 0 ⇒ b + c = −(a + d)

Cộng từng vế các điều kiện trên ta được

abc + bcd + cda + dab − (a + b + c + d) = 0

⇒ abc + bcd + cda + dab = 0

⇔ bc(a + d) + ad(b +c) = 0

⇔ bc(a + d) − ad(a + d) = 0

⇔ (a + d)(bc − ad) = 0

TH1: a + d = 0

Từ : abc – d = 1,bcd – a = 2, ta cộng lại ta được

abc + bcd−(a + d) = 3

⇔ bc(a + d)−(a + d) = 3

⇔ (a + d)(bc − 1) = 3

⇔ 0 = 3 (Vô lí)

Th2 : bc – ad = 0

Nếu b = 0 ⇒ a + c + d = 0(1)

Từ abc –d = 1 ⇒ 0 −d = 1 ⇒ d = −1

Từ bcd – a =2 ⇒ a = −2

Từ dab – c =−6 ⇒ c = 6

Lúc này ⇒ a + c + d = − 2 + 6 + (−1) = 3 ≠ 0 (Trái với (1)

Do đó b ≠ 0, tương tự d ≠ 0

Từ bc – ad = 0 ⇒ ab = cd (b, d ≠ 0)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

⇒ \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{{a + c}}{{b + d}} = \frac{{ - \left( {b + d} \right)}}{{b + d}} = - 1\)

⇒ a = −b ⇒ a + b = 0

Tương tụ như với a + d = 0 ⇒ Vô lí

Vậy a + b + c + d ≠ 0 (đpcm).

Vì C thuộc Ox nên C(x_C; 0)

Để tam giác ABC cân tại A thì AB = AC

Hay \[\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right|\]

⇔ \[\sqrt {{{\left( { - 2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {1 - 4} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_C} - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} \]

⇔ \[5 = \sqrt {{{\left( {{x_C} - 2} \right)}^2} + 16} \]

⇔ \[25 = {\left( {{x_C} - 2} \right)^2} + 16\]

⇔ x_C² – 4x_C + 4 + 16 – 25 = 0

⇔ x_C² – 4x_C – 5 = 0

⇔ (x_C – 5)(x_C + 1) = 0

⇔ \(\left[ \begin{array}{l}{x_C} = 5\\{X_C} = - 1\end{array} \right.\)

Vậy C(5; 0) hoặc C(–1; 0).