7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 36)

Lời giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số đã cho xác định với mọi x ∈ ℝ.

Điều kiện của bài toán trở thành:

\(m = f\left( \pi \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{1 + \cos x}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}\).

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\frac{1}{4}.2{{\sin }^2}\left( {\frac{x}{2} - \frac{\pi }{2}} \right)}}{{\frac{1}{4}.{{\left( {x - \pi } \right)}^2}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\frac{1}{2}{{\sin }^2}\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } {\left[ {\frac{{\sin \left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}{{\left( {\frac{{x - \pi }}{2}} \right)}}} \right]^2}\) (*)

Đặt \(t = \frac{{x - \pi }}{2} \to 0\) khi x → π.

Khi đó (*) trở thành: \(m = \frac{1}{2}\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } {\left( {\frac{{\sin t}}{t}} \right)^2} = \frac{1}{2}{.1^2} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(m = \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.

Lời giải

a) Gọi A là tập hợp số học sinh giỏi Toán. Tức là, n(A) = 16.

B là tập hợp số học sinh giỏi Lí. Tức là, n(B) = 15.

C là tập hợp số học sinh giỏi Hóa. Tức là, n(C) = 11.

Có 9 học sinh vừa giỏi Toán và Lí. Suy ra n(A ∩ B) = 9.

Có 6 học sinh vừa giỏi Lí và Hóa. Suy ra n(B ∩ C) = 6.

Có 8 học sinh vừa giỏi Hóa và Toán. Suy ra n(A ∩ C) = 8.

Ta có sơ đồ Ven:

Vì có 11 học sinh chỉ giỏi đúng 2 môn nên ta có:

n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(C ∩ A) – 3.n(A ∩ B ∩ C) = 11.

⇒ 9 + 6 + 8 – 3.n(A ∩ B ∩ C) = 11.

⇔ n(A ∩ B ∩ C) = 4.

Vậy có 4 học sinh trong lớp 10C giỏi cả ba môn.

b) Xét tổng n(A) + n(B) + n(C), có:

⦁ n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(A ∩ C) được tính 2 lần nên ta phải trừ đi 1 lần;

⦁ n(A ∩ B ∩ C) được tính 3 lần nên ta phải trừ đi 2 lần.

Trong n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(A ∩ C), có n(A ∩ B ∩ C) được tính 3 lần, trừ đi 1 lần n(A ∩ B) + n(B ∩ C) + n(A ∩ C) là trừ đi 3 lần n(A ∩ B ∩ C).

Như vậy, số học sinh chỉ giỏi một môn là:

n(A ∪ B ∪ C)

= n(A) + n(B) + n(C) – [n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C)] + n(A ∩ B ∩ C).

= 16 + 15 + 11 – (9 + 8 + 6) + 4 = 23.

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Chọn 9 số từ 10 chữ số trong tập {0; 1; 2; 3; ...; 8; 9} thì có \(C_{10}^9\) cách.

Sắp xếp 9 chữ số đó theo thứ tự giảm dần thì có 1 cách xếp.

Vậy ta có tất cả \(C_{10}^9.1 = 10\) số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án D.

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Ta có –1 ≤ sin2x ≤ 1.

Suy ra –1 ≤ y ≤ 1.

Do đó T = [–1; 1].

Vậy ta chọn phương án A.

Lời giải

a) Ta có I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI.

\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{CI}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{2}{5}\).

\( \Rightarrow BI = \frac{2}{5}BC\).

Chứng minh tương tự, ta được: \(IC = \frac{3}{5}BC\).

Lại có J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.

\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{IC}} = \frac{2}{5}\).

\( \Rightarrow \frac{{JB}}{{BC}} = \frac{2}{3}\).

\( \Rightarrow JB = \frac{2}{3}BC\) và \(BC = \frac{3}{5}JC\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} - \frac{2}{5}.\frac{3}{2}\overrightarrow {JB} = \overrightarrow {AI} - \frac{3}{5}\overrightarrow {JB} \).

\( = \overrightarrow {AI} - \frac{3}{5}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} - \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(\overrightarrow {AB} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {AJ} \).

Do đó \(\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \)            (1)

Ta có \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \frac{3}{5}.\frac{3}{5}\overrightarrow {JC} = \overrightarrow {AI} + \frac{9}{{25}}\left( {\overrightarrow {JA} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {AC} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AI} - \frac{9}{{25}}\overrightarrow {AJ} \).

Do đó \(\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \)         (2)

Từ (1), (2), suy ra \(\frac{5}{2}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \frac{3}{2}\overrightarrow {AJ} \).

Do đó \[\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].

Vậy \(\overrightarrow {AB} = \frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} \); \(\overrightarrow {AC} = \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} \) và \[\overrightarrow {AJ} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \].

b) Gọi H là trung điểm BC. Dựng hình bình hành ABKC.

Ta có G là trọng tâm của tam giác ABC.

Suy ra \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{8}\overrightarrow {AI} + \frac{3}{8}\overrightarrow {AJ} + \frac{{25}}{{16}}\overrightarrow {AI} - \frac{9}{{16}}\overrightarrow {AJ} } \right)\).

\( = \frac{{35}}{{48}}\overrightarrow {AI} - \frac{1}{{16}}\overrightarrow {AJ} \).