5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 10)

Lời giải
Đáp án đúng là: C

Để có hình chiếu vuông góc các tia chiếu phải xiên góc hoặc vuông góc với mặt phẳng hình chiếu.

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Lời giải

a) Gọi I (x₀; y₀) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với điểm m nên ta có: mx₀ + (2 – 3m)y₀ + m – 1 = 0 \(\forall m\)

⇔ m(x₀ – 3y­₀ + 1) + 2y₀ – 1 = 0 \(\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - 3{y_0} + 1 = 0\\2{y_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \frac{1}{2}\\{y_0} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

⇔ \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng (d).

Ta có: OH ≤ OI nên OH lớn nhất bằng OI khi và chỉ khi H ≡ I hay OI ⊥ (d). Đường thẳng qua O có phương trình u = ax do \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right) \in OI \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a\).

Suy ra a = 1.

Do đó OI: y = x.

Đường thẳng (d) được viết lại như sau:

mx + (2 – 3m)y + m – 1 = 0

⇔ (2 – 3m)y = –mx + 1 – m

• Nếu \(m = \frac{2}{3}\) thì đường thẳng (d): \(x - \frac{1}{2} = 0\) song song với trục Oy nên khoảng cách từ O đến (d) là \(\frac{1}{2}\).

• Nếu \(m \ne \frac{2}{3}\) đường thẳng (d) có thể viết lại \(y = \frac{m}{{3m - 2}}x + \frac{{m - 1}}{{3m - 2}}\).

Điều kiện để (d) vuông góc với OI là: \(\frac{m}{{3m - 2}}.1 = - 1\)

\( \Leftrightarrow m = 2 - 3m \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\).

Khi đó \(OI = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x ≥ 0, y ≥ 0 lần lượt là số tấm bìa cắt theo cách thứ nhất, thứ hai.

Bài toán đưa đến tìm x ≥ 0, y ≥ 0 thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y \ge 900\\x + 3y \ge 1000\\6x + y = 900\end{array} \right.\) sao cho L = x + y nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ các đường thẳng:

(d): 3x + 2y – 900 = 0;

(d’): x + 3y – 1 000 = 0;

(∆): 6x + y – 900 = 0.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) nửa đường thẳng BC nằm trong phần tô màu trên hình vẽ.

Suy ra L = x + y nhỏ nhất đạt được tại điểm B.

Khi đó, L(x; y) = L(100; 300).

Lời giải

a) Vì MN là đường trung bình của ∆OAB nên MN // AB.

Suy ra AM = NB = \(\frac{1}{2}OA = \frac{1}{2}OB\).

Do đó tứ giác MNBA là hình thang cân.

b) Ta có MN // AB nên MN // DP

Do đó MN = \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}DC = DP\).

Vậy tứ giác MNPD là hình bình hành.

c) Xét ∆DMB có MO vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao.

Suy ra DMB là tam giác cân.

Do đó \(\widehat {MBD} = \widehat {MDB}\)       (1)

Dễ thấy: ∆OAN = ∆OBM suy ra \(\widehat {MBO} = \widehat {OAN}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {OAN} = \widehat {MDB}\).

Mà \(\widehat {DNP} = \widehat {MDB}\) (hai góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {DNP} = \widehat {OAN}\).

Xét ∆OAN có \(\widehat {OAN} + \widehat {ONA} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {DNP} + \widehat {ONA} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \)NP\( \bot \)AN.

Lời giải

a) Do N ∈ (O) ⇒ \(ON = \frac{1}{2}BC\)⇒ BN ⊥ AC;

M ∈ (O) ⇒ \[MO = \frac{1}{2}BC\] ⇒ MC ⊥ AB.

⇒ H là giao điểm của đường cao

⇒ AH ⊥ BC

⇒ AK ⊥ BC.

b) Xét ∆ANB và ∆AMC có

\[\widehat {BAC}\]là góc chung

\[\widehat {ANB} = \widehat {AMC}\](= 90°)

Do đó ∆ANB ᔕ ∆AMC (g.g).

Suy ra \[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\] (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Vậy AM . AB = AN. AC (đpcm).