5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 36)

a. \(P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x }}{{x - 1}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - 1} \right)\)

\(P = \frac{{\sqrt x + 1 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{x - 1}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - \sqrt x + 1}}\)

\(P = \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

b. Để \(P = \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{2\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{3}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {2\sqrt x + 1} \right) = 3\left( {\sqrt x + 1} \right) \Leftrightarrow 4\sqrt x + 2 = 3\sqrt x + 3\)

\( \Leftrightarrow 4\sqrt x - 3\sqrt x = 3 - 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 1 \Leftrightarrow x = 1\)

Mà theo điều kiện thì x ≠ 1 ⇒ Loại x = 1

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn \(P = \frac{3}{2}\).

a³ – 3a + 3b – b³

= (a³ – b³) – (3a – 3b)

= (a – b)(a² + ab + b²) – 3(a – b)

= (a – b)(a² + ab + b² – 3)

\({x^2} + 2021x - 2022 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x + 2022x - 2022 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) + 2022\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2022} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 = 0}\\{x + 2022 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = - 2022}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; –2022}.

5sin2x + 12cos2x = 13

\( \Leftrightarrow \frac{5}{{13}}\sin 2x + \frac{{12}}{{13}}\cos 2x = 1\)  (*)

Chọn góc a thỏa mãn \(\sin a = \frac{5}{{13}}\), ta có \({\left( {\frac{5}{{13}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{12}}{{13}}} \right)^2} = 1\) nên \[\cos a = \frac{{12}}{{13}}\].

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow \sin a\sin 2x + \cos a\cos 2x = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \left( {2x - a} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 2x - a = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2x = a + k2\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{a}{2} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \frac{a}{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với a thỏa mãn \(\sin a = \frac{5}{{13}}\).

cos2x – 3sinx – 2 = 0

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - 3\sin x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 3\sin x + 1 = 0\left( * \right)\end{array}\)

Đặt t = sinx, –1 ≤ t ≤ 1

(*)\( \Leftrightarrow 2{t^2} + 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - 1}\\{t = - \frac{1}{2}}\end{array}\left( {TM} \right)} \right.\)

Với t = –1 ⟺ sinx = –1 \( \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Với \(t = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy nghiệm của phương trình: \(x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi ;x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).