5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 16)

Lời giải

Gọi d là đường thẳng qua H(0; 4) và song song với trục Ox

Vì d // Ox nên phương trình đường thẳng d có dạng y = b (b ≠ 0)

Vì H(0; 4) thuốc đường thẳng d

Nên b = 4

Suy ra (d): y = 4

Phương trình hoành độ giao điểm của d và y = –2x là

–2x = 4 ⇔ x = –2

Suy ra y = 4

Do đó A(–2; 4)

Phương trình hoành độ giao điểm của d và y = x là x = 4

Suy ra y = 4

Do đó B(4; 4)

Vậy A(–2; 4) và B(4; 4).

Lời giải

Đường thẳng (d) song song với trục Ox và đi qua điểm K(0; 2) nên nó là đường thẳng y = 2

Đường thẳng y = 2 cắt đường thẳng (1) tại A nên điểm A có tung độ bằng 2

Thay y = 2 vào phương trình y = – 2x ta được x = – 1

Vậy điểm A(– 1; 2)

Đường thẳng y = 2 cắt đường thẳng (2) tại B nên điểm B có tung độ bằng 2

Thay y = 2 vào phương trình y = 0,5x ta được x = 4

Vậy điểm B(4; 2).

Lời giải

Ta có N = 1 + 11 + 111 +....+ 11...1

Suy ra \({\rm{N = }}\frac{1}{9}\left( {\frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n} \right)\)

Vậy \({\rm{N = }}\frac{1}{9}\left( {\frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n} \right)\).

Lời giải

a) Xét tam giác ABK có I là trung điểm của AB, H là trung điểm của BK

Do đó HI là đường trung bình

Suy ra HI // AK

Xét tứ giác AKHD có HI // AK, AD // HK

Suy ra AKHD là hình bình hành

Vậy AKHD là hình bình hành

b) Vì AKHD là hình bình hành (chứng minh câu a)

Nên AD = HK

Mà BH = HK (giả thiết)

Suy ra AD = BH

Vì AH ⊥ BC nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Xét tứ giác AHBD có AD = BH, AD // BH (chứng minh trên)

Suy ra AHBD là hình bình hành

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Suy ra AHBD là hình chữ nhật

Vậy AHBD là hình chữ nhật

c) Để hình chữ nhật AHBD là hình vuông thì AH = BH

⟺ Tam giác ABK vuông tại A (vì AH = BH = HK)

⟺ K ≡ C (vì tam giác ABC vuông tại A)

⟺ H là trung điểm của BC

⟺ tam giác ABC cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân thì AHBD là hình vuông

d) Xét tứ giác ABMK có hai đường chéo AM và BK cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường

Suy ra ABMK là hình bình hành

Suy ra AB // MK

Mà AB ⊥ AC

Do đó MK ⊥ AC

Xét tam giác AMC có MK, CH là hai đường cao

MK cắt CH tại K

Suy ra K là trực tâm tam giác AMC

Do đó AK ⊥ MC

Vậy AK ⊥ MC.

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AC, N là giao điểm của IM và AB

Xét tam giác AHC có I là trung điểm của AH, M là trung điểm của AC

Suy ra IM là đường trung bình

Do đó IM // HC

Hay MN // BC

Ta có AH ⊥ BC, CD ⊥ BC nên AH // CD

Xét tam giác BCD có HI // CD

Suy ra \(\frac{{IB}}{{I{\rm{D}}}} = \frac{{HB}}{{HC}}\)                          (1)

Xét tam giác ABC có MN // BC (chứng minh trên)

Suy ra \(\frac{{IN}}{{HB}} = \frac{{AI}}{{HA}} = \frac{{IM}}{{HC}}\)

Hay \(\frac{{IN}}{{IM}} = \frac{{HB}}{{HC}}\)                     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{IB}}{{I{\rm{D}}}} = \frac{{IN}}{{IM}}\)

Xét tam giác DIM có \(\frac{{IB}}{{I{\rm{D}}}} = \frac{{IN}}{{IM}}\)

Suy ra BN // DM (định lí Thales đảo)

Mà BN ⊥ AC nên DM ⊥ AC

Xét tam giác ADC có DM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Suy ra tam giác ADC cân tại D

Do đó DA = DC

Vậy DA = DC.