5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 67)

Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.

Suy ra CN, BM, AE là các đường trung tuyến của ΔABC

Do đó, CN, BM, AE cắt nhau tại G.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta có:

\[CG = \frac{2}{3}CN\]

Xét ΔAGC và ΔANC có cùng đường cao hạ từ A xuống NC

Mà đáy \[CG = \frac{2}{3}CN\]

Suy ra \[{S_{AGC}} = \frac{2}{3}{S_{ANC}}\] (1)

Xét ΔANC và ΔABC có cùng chung chiều cao hạ từ C xuống AB

Mà đáy \[AN = \frac{1}{2}AB\] (vì N là trung điểm của AB)

Suy ra \[{S_{ANC}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\] (2)

Từ (1) và (2) ta có: \[{S_{AGC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\]

Vậy diện tích tam ABC gấp 3 lần diện tích tam giác AGC.

Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của AB, AC và BC.

Suy ra CN, BM, AE là các đường trung tuyến của ΔABC

Do đó, CN, BM, AE cắt nhau tại G.

Áp dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác ta có:

\[AG = \frac{2}{3}AE;\,\,BG = \frac{2}{3}BM;\,\,CG = \frac{2}{3}CN\]

Xét ΔAGB và ΔAEB có cùng đường cao hạ từ B xuống AE

Mà đáy \[AG = \frac{2}{3}AE\]

Suy ra \[{S_{AGB}} = \frac{2}{3}{S_{AEB}}\] (1)

Xét ΔAEB và ΔABC có cùng chung chiều cao hạ từ A xuống BC

Mà đáy \[BE = \frac{1}{2}BC\] (vì E là trung điểm của BC)

Suy ra \[{S_{AEB}} = \frac{1}{2}{S_{ABC}}\] (2)

Từ (1) và (2) ta có: \[{S_{AGC}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\]

Chứng minh tương tự ta có: \[{S_{AGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}};\,\,{S_{BGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\]

Suy ra \[{S_{AGB}} = \,\,{S_{BGC}} = {S_{AGC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}\]

Vậy \[{S_{AGB}} = \,\,{S_{BGC}} = {S_{AGC}}\].