5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 78)

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y)}^2}\left( {8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13} \right) + 5 = 0}\\{2x + \frac{1}{{x + y}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13 + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} = 0\,}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} = 13}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{{\left( {x + y} \right)}^2} + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} + 3{{\left( {x - y} \right)}^2} = 13}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{{\left( {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right)}^2} + 3{{\left( {x - y} \right)}^2} = 23}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Đặt \[x + y + \frac{1}{{x + y}} = a;\,\,\,x - y = b\,\,\,\,\,\,\]

Ta có: \[\left( {\frac{{ - 5}}{4};\,\frac{9}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{a^2} - 6a + 3 = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{a^2} - 6a - 20 = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a - 2)(4a + 5) = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

• Với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.\], ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2(x + y) + 1 = 0}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y - 1)}^2} = 0}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right.\]

• Với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.\], ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{1}{{x + y}} = \frac{{ - 5}}{4}}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)}^2} + \frac{{39}}{{64}} = 0}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\] (2)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 2 \cdot \frac{5}{8}(x + y) + \frac{{25}}{{64}} + \frac{{39}}{{64}} = 0}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)}^2} + \frac{{39}}{{64}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Vì \[{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)^2} + \frac{{39}}{{64}} > 0,\,\,\forall m\] nên không có giá trị m thoả mãn hệ phương trình (2)

Vậy nghiệm (x; y) của hệ phương trình là (0; 1).

Câu 2

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Xem đáp án

Lời giải

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{{(1 - a)}^2} = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{a^2} - 6a + 3 = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{a^2} - 6a - 20 = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a - 2)(4a + 5) = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

Vậy các nghiệm (a; b) của hệ phương trình là: (2; –1) và \[\left( {\frac{{ - 5}}{4};\,\frac{9}{4}} \right)\].

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD (ảnh 1)

S là điểm chung của (SAB) và (SCD).

Kẻ Sx // AB // CD

Ta có: AB // CD

AB ⊂ (SAB)

CD ⊂ (SCD)

Suy ra (SAB) ∩ (SCD) = {Sx}

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là Sx.

Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với (SBD).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: AM ⊂ (SAC)

Dễ thấy S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Khi đó O ∈ AC⊂ (SAC),

O ∈ BD ⊂ (SBD)

Do đó O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Þ SO = (SAC) ∩ (SBD)

Trong (SAC) gọi AM ∩ SO = {K}

Ta có: K ∈ AM, K ∈ SO ⊂ (SBD)

Þ AM ∩ (SBD) = {K},

Vậy giao điểm K của đường thẳng AM với (SBD) là giao điểm của AM và SO.

Câu 5

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với (ảnh 1)

Áp dụng công thức \[r = \frac{{3V}}{{{S_{tp}}}}\,\,\] (*) và tam giác đều cạnh x có diện tích \[S = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\,\,\]

Từ giả thiết S.ABC đều có SA = SB = SC. Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc và thể tích khối chóp S.ABC bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]nên ta có SA = SB = SC = a.

Suy ra \[AB = BC = CA = a\sqrt 2 \] và tam giác ABC đều cạnh có độ dài \[a\sqrt 2 \]. Do đó diện tích toàn phần của khối chóp S.ABC là

S_tp = S_SAB + S_SBC+ S_SCA + S_ABC

\[ = \frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{2}\]

Thay vào (*) ta được: \[\frac{{4\pi }}{3}\].

Vậy r = \[r = \frac{a}{{3 + \sqrt 3 }}\].

Câu 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử