5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 78)

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y)}^2}\left( {8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13} \right) + 5 = 0}\\{2x + \frac{1}{{x + y}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{x^2} + 8{y^2} + 4xy - 13 + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} = 0\,}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) + 3\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} = 13}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{{\left( {x + y} \right)}^2} + \frac{5}{{{{(x + y)}^2}}} + 3{{\left( {x - y} \right)}^2} = 13}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{{\left( {x + y + \frac{1}{{x + y}}} \right)}^2} + 3{{\left( {x - y} \right)}^2} = 23}\\{x + y + \frac{1}{{x + y}} + x - y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Đặt \[x + y + \frac{1}{{x + y}} = a;\,\,\,x - y = b\,\,\,\,\,\,\]

Ta có: \[\left( {\frac{{ - 5}}{4};\,\frac{9}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{a^2} - 6a + 3 = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{a^2} - 6a - 20 = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a - 2)(4a + 5) = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

• Với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.\], ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{1}{{x + y}} = 2}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2(x + y) + 1 = 0}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x + y - 1)}^2} = 0}\\{x - y = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = 1}\end{array}} \right.\]

• Với \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.\], ta có:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + \frac{1}{{x + y}} = \frac{{ - 5}}{4}}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)}^2} + \frac{{39}}{{64}} = 0}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\] (2)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y} \right)}^2} + 2 \cdot \frac{5}{8}(x + y) + \frac{{25}}{{64}} + \frac{{39}}{{64}} = 0}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)}^2} + \frac{{39}}{{64}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{x - y = \frac{9}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Vì \[{\left( {x + y + \frac{5}{8}} \right)^2} + \frac{{39}}{{64}} > 0,\,\,\forall m\] nên không có giá trị m thoả mãn hệ phương trình (2)

Vậy nghiệm (x; y) của hệ phương trình là (0; 1).

Câu 2/79

Giải hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Xem đáp án

Lời giải

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{b^2} = 23}\\{a + b = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{{(1 - a)}^2} = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{a^2} + 3{a^2} - 6a + 3 = 23}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8{a^2} - 6a - 20 = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(a - 2)(4a + 5) = 0}\\{b = 1 - a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 2}\\{b = - 1}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{{ - 5}}{4}}\\{b = \frac{9}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

Vậy các nghiệm (a; b) của hệ phương trình là: (2; –1) và \[\left( {\frac{{ - 5}}{4};\,\frac{9}{4}} \right)\].

Câu 3/79

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD (ảnh 1)

S là điểm chung của (SAB) và (SCD).

Kẻ Sx // AB // CD

Ta có: AB // CD

AB ⊂ (SAB)

CD ⊂ (SCD)

Suy ra (SAB) ∩ (SCD) = {Sx}

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là Sx.

Câu 4/79

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD và AB = 2CD). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Xác định giao điểm K của đường thẳng AM với (SBD).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: AM ⊂ (SAC)

Dễ thấy S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Khi đó O ∈ AC⊂ (SAC),

O ∈ BD ⊂ (SBD)

Do đó O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Þ SO = (SAC) ∩ (SBD)

Trong (SAC) gọi AM ∩ SO = {K}

Ta có: K ∈ AM, K ∈ SO ⊂ (SBD)

Þ AM ∩ (SBD) = {K},

Vậy giao điểm K của đường thẳng AM với (SBD) là giao điểm của AM và SO.

Câu 5/79

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với (ảnh 1)

Áp dụng công thức \[r = \frac{{3V}}{{{S_{tp}}}}\,\,\] (*) và tam giác đều cạnh x có diện tích \[S = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}\,\,\]

Từ giả thiết S.ABC đều có SA = SB = SC. Lại có SA, SB, SC đôi một vuông góc và thể tích khối chóp S.ABC bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]nên ta có SA = SB = SC = a.

Suy ra \[AB = BC = CA = a\sqrt 2 \] và tam giác ABC đều cạnh có độ dài \[a\sqrt 2 \]. Do đó diện tích toàn phần của khối chóp S.ABC là

S_tp = S_SAB + S_SBC+ S_SCA + S_ABC

\[ = \frac{{3{a^2}}}{2} + \frac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\left( {3 + \sqrt 3 } \right)}}{2}\]

Thay vào (*) ta được: \[\frac{{4\pi }}{3}\].

Vậy r = \[r = \frac{a}{{3 + \sqrt 3 }}\].

Câu 6/79

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SD. Tính khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ảnh 1)

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó:

A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); C(a; a; 0); D(0; a; 0); S(0; 0; 2a)

Vì M là trung điểm của SD nên M(0; a²; a)

Gọi O là giao điểm của AC, BD

MO // SB Þ SB // (ACM)

Þ d(SB, (ACM)) = d(B, (ACM))

Ta có: \[\left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {{a^2}; - {a^2};\frac{{{a^2}}}{2}} \right)\]

\[ \Rightarrow \overrightarrow n (2; - 2;1)\] là một vecto chỉ phương của mặt phẳng (ACM).

Vậy phương trình mặt phẳng (ACM): 2x – 2y + z = 0

Þ d(SB, (ACM)) = d(B,(ACM)) = \[\frac{{2a}}{3}\].

Vậy khoảng cách d giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ACM) là \[\frac{{2a}}{3}\].

Câu 7/79

Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E; CF cắt BE tại H. Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt (ảnh 1)

Vì \[\widehat {BFC}\]= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \[\widehat {AFC}\]= 90°.

Vì \[\widehat {BEC}\]= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \[\widehat {AEC}\] = 90°.

Tứ giác AEHF có: \[\widehat {AFC}\] = 90°; \[\widehat {AEC}\] = 90°

Suy ra \[\widehat {AFC}\]+ \[\widehat {AEC}\] = 180°.

Vậy AEHF là tứ giác nội tiếp

Câu 8/79

Cho tam giác ABC nhọn, vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại F và E. CF cắt BE tại H. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF, Tính số đo cung EHF, diện tích hình quạt IEHF của đường tròn (I) nếu \[\widehat {BAC} = 60^\circ \], AH = 4 cm.

Xem đáp án

Lời giải

\[R = AI = \frac{{AH}}{2} = 2\,\,cm\]

Ta có: \[\widehat {BAC} = 60^\circ \]

Þ \[\widehat {FIE = }2\widehat {BAC} = 120^\circ \] (góc nội tiếp bằng \[\frac{1}{2}\] góc ở tâm cùng chắn một cung)

Þ Số đo \[\widehat {EHF} = 120^\circ \]

Diện tích hình quạt IEHF là:

\[s = \frac{{\pi {R^2}N}}{{360}} = \frac{{\pi {{.2}^{^2}}.120}}{{360}} = \frac{{4\pi }}{3}\]

Vậy diện tích hình quạt IEHF là \[\frac{{4\pi }}{3}\].

Câu 9/79