5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 17)

Lời giải

a) \(P = \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} - 2x + 1}}:\left( {\frac{{x + 1}}{x} - \frac{1}{{1 - x}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{{x^2} - x}}} \right)\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\left[ {\frac{{x + 1}}{x} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{2 - {x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\left[ {\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + x + 2 - {x^2}}}{{x\left( {x - 1} \right)}}} \right]\)

\( = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}:\frac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}\).

b) Ta có \(P < 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} < 1\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}} < 0\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}}}{{x - 1}} < 0 \Leftrightarrow x - 1 < 0\] (vì \[{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4} > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\]).

⇔ x < 1.

Vậy x < 1 thì P < 1.

c) Vì x > 2 nên x – 2 > 0.

Do đó x – 1 > x – 2 > 0.

Ta có \(P = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}} = x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 2\).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{x - 1}}{{x - 1}}} = 2\sqrt 1 = 2,\,\forall x > 2\).

\( \Leftrightarrow x - 1 + \frac{1}{{x - 1}} + 2 \ge 2 + 2 = 4\).

⇔ P ≥ 4.

Dấu “=” xảy ra ⇔ (x – 1)² = 1 ⇔ x – 1 = 1 hoặc x – 1 = –1.

⇔ x = 2 (loại vì x > 2) hoặc x = 0 (loại vì x > 2).

Vậy P không có giá trị nhỏ nhất khi x > 2.

Lời giải

Ta có \(P = A.B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 1 + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x + 1}}\).

Để P có giá trị nguyên thì \(5 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)\).

\( \Rightarrow \sqrt x + 1 \in \) Ư(5).

Ta có bảng sau:

Với x = 0, ta có \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt 0 + 1}} = 6\).

Với x = 16, ta có \(P = 1 + \frac{5}{{\sqrt {16} + 1}} = 2\).

Vậy P có giá trị nguyên nhỏ nhất khi và chỉ khi x = 16.

Lời giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1 + 3}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 3}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 4}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 3}}\)

\( = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 3} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 4} \right)}}{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}} = \frac{7}{{{n^2} + 7n + 12}}\)

\( = \frac{7}{{{{\left( {n + \frac{7}{2}} \right)}^2} - \frac{1}{4}}} > 0,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy dãy (u_n) là dãy số tăng.

⦁ Ta có \({u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 3}} = \frac{{2\left( {n + 3} \right) - 7}}{{n + 3}} = 2 - \frac{7}{{n + 3}}\).

Do n ∈ ℕ^* nên \(\frac{1}{{n + 3}} \le \frac{1}{4}\).

Suy ra \(2 - \frac{7}{{n + 3}} \ge 2 - \frac{1}{4} = \frac{7}{4}\).

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi \(\frac{7}{4}\).

Lại có u_n bị chặn trên (do u_n < 2, ∀n ∈ ℕ^*).

Vậy (u_n) bị chặn.

Do đó ta chọn phương án C.

Lời giải

a) Đặt \(B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}} + \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{1 - \sqrt {xy} }} + 1\)

\[ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt {xy} } \right) + \left( {\sqrt {xy} + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right) + 1 - xy}}{{\left( {1 - \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{\sqrt x - x\sqrt y + 1 - \sqrt {xy} + xy + \sqrt {xy} + x\sqrt y + \sqrt x + 1 - xy}}{{\left( {1 - \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 - \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}\].

Đặt \(C = 1 - \frac{{\sqrt {xy} + \sqrt x }}{{\sqrt {xy} - 1}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt {xy} + 1}}\)

\[ = \frac{{xy - 1 - \left( {\sqrt {xy} + \sqrt x } \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt {xy} - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{xy - 1 - \left( {xy + \sqrt {xy} + x\sqrt y + \sqrt x } \right) - \left( {x\sqrt y - \sqrt x + \sqrt {xy} - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}\]

\[ = \frac{{ - 2\sqrt {xy} - 2x\sqrt y }}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}} = \frac{{ - 2\sqrt {xy} \left( {1 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt {xy} - 1} \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}\].

Ta có \(A = B:C = \frac{{2\sqrt x + 2}}{{\left( {1 - \sqrt {xy} } \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt {xy} - 1} \right)\left( {\sqrt {xy} + 1} \right)}}{{ - 2\sqrt {xy} \left( {1 + \sqrt x } \right)}}\)

\( = \frac{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{2\sqrt {xy} \left( {1 + \sqrt x } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt {xy} }}\).

b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \(\frac{1}{{\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt y }} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.\frac{1}{{\sqrt y }}} \)

\( \Leftrightarrow 6 \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt {xy} }}} \Leftrightarrow 3 \ge \sqrt {\frac{1}{{\sqrt {xy} }}} \Leftrightarrow 9 \ge \frac{1}{{\sqrt {xy} }} \Leftrightarrow A \le 9\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt x }} = \frac{1}{{\sqrt y }} \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{9}\).

Vậy giá trị lớn nhất của A bằng 9 khi và chỉ khi \(x = y = \frac{1}{9}\).

Lời giải

Đáp án đúng là: D

Dựng hình chữ nhật APCQ.

Khi hình bình hành ABCD quay quanh cạnh AD, ta quay hình chữ nhật APCQ quanh cạnh AQ, sau đó bỏ đi hai khối nón bằng nhau ở hai đầu (được tạo thành khi quay tam giác ABP và tam giác CDQ quanh cạnh AD).

Ta có ABCD là hình bình hành. Suy ra \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC} = 120^\circ \).

Ta có: \(\widehat {CDQ} + \widehat {ADC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù).

\( \Leftrightarrow \widehat {CDQ} = 180^\circ - \widehat {ADC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \).

Tam giác CDQ vuông tại Q: \(\sin \widehat {CDQ} = \frac{{CQ}}{{CD}}\).

⇒ CQ = 2a.sin60° = \(a\sqrt 3 \).

Tam giác CDQ vuông tại Q: \(\cos \widehat {CDQ} = \frac{{DQ}}{{DC}}\).

⇒ DQ = 2a.cos60° = a.

Ta có AQ = AD + DQ = AD + PB = a + a = 2a.

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: \(V = {V_{APCQ}} - 2{V_{CDQ}} = \pi .C{Q^2}.AQ - 2.\frac{1}{3}\pi .C{Q^2}.DQ\)

\( = \pi .3{a^2}.2a - 2.\frac{1}{3}\pi .3{a^2}.a = 4\pi {a^3}\).

Vậy ta chọn phương án D.