5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 33)

2x² – 3x – 2

= 2x² – 4x + x – 2

= (2x² – 4x) + (x – 2)

= 2x(x – 2) + (x – 2)

= (2x + 1)(x – 2).

Xét tam giác CAH vuông tại H có:

\(\tan \widehat {HAC} = \tan 32^\circ = \frac{{CH}}{{HA}} \Rightarrow HA = \frac{{CH}}{{\tan 32^\circ }}\)

Xét tam giác CBH vuông tại H có:

\(\tan \widehat {HBC} = \tan 43^\circ = \frac{{CH}}{{BH}} \Rightarrow BH = \frac{{CH}}{{\tan 43^\circ }}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}AB = AH - BH\\ \Rightarrow CH\left( {\frac{1}{{\tan 32^\circ }} - \frac{1}{{\tan 43^\circ }}} \right) = 25 \Rightarrow CH = \frac{{25}}{{\left( {\frac{1}{{\tan 32^\circ }} - \frac{1}{{\tan 43^\circ }}} \right)}} \approx 47,4\,\,(m)\end{array}\).

\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \sin x + \cos x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x + \frac{1}{2}\cos x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{6} + \cos x.\sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x + \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\).

Đáp án đúng là: A

\(\begin{array}{l}\sqrt 3 \sin x - \cos x = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = 1\\ \Leftrightarrow \sin x.\cos \frac{\pi }{6} - \cos x.\sin \frac{\pi }{6} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

a) Thể tích vật là:

V = abc = 30.20.10 = 6000 cm³ = 6.10^–3 m³

b) Thể tích chìm trong chất lỏng là:

V’ = 20.20.10 = 4000 cm³ = 4.10^–3 m³

Lực đẩy Ác – si – mét là:

F_A = dV’ = 12000.4.10^–3 = 48 N.

Hàm số y = ax + a + 1 có đồ thị là đường thẳng.

Với a ≠ 0 và a ≠ –1 thì đồ thị đó không đi qua gốc tọa độ O.

Gọi A là giao điểm của đồ thị với Ox nên ta có: \(A\left( {\frac{{ - a - 1}}{a};0} \right)\)

Do đó, \(OA = \left| {\frac{{a + 1}}{a}} \right|\)

Gọi B là giao điểm của d với Oy ⇒ B(0; a + 1) ⇒ OB = |a + 1|

Từ O kẻ vuông góc với AB được OH

Ta có:

\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}}\)

\( \Rightarrow \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{{O{B^2} + O{A^2}}}{{O{A^2}.O{B^2}}} = \frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}.{{\left( {\frac{{a + 1}}{a}} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{\frac{{{a^2}{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{a^2}}}}}{{\frac{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}}{{{a^2}}}}}\)

\( = \frac{{\left( {{a^2} + 1} \right){{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^4}}} = \frac{{{a^2} + 1}}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{a^2} + 1}}{{{a^2} + 2a + 1}}\)

\( \Rightarrow O{H^2} = \frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} + 1}} = 1 + \frac{{2a}}{{{a^2} + 1}} = 1 + \frac{2}{{a + \frac{1}{a}}}\).

Với a < 0 thì OH² ≤ 1

Với a > 0 thì:

Ta có: \(a + \frac{1}{a} \ge 2\,\,\,\forall a > 0\)

\( \Rightarrow \frac{2}{{a + \frac{1}{a}}} \le 1\,\,\forall a > 0 \Rightarrow O{H^2} = 1 + \frac{2}{{a + \frac{1}{a}}} \le 2\,\,\forall a > 0\)

Do đó, giá trị lớn nhất của OH_max ⇔ OH²_max ⇔ \(a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1\) (vì a > 0).

a)

Đường thẳng (d) đi qua hai điểm (0; 1) và (–1; 0).

Đường thẳng (d’) đi qua hai điểm (0; 3) và (3; 0).

Hình vẽ:

b)

Tọa độ điểm A(–1; 0) và B(3; 0) như hình vẽ.

Gọi điểm C(x₀; y₀)

Tọa độ của điểm C là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{y_0} = {x_0} + 1\\{y_0} = - {x_0} + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} - {y_0} = - 1\\ - {x_0} - {y_0} = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{y_0} = 2\end{array} \right.\)

Do đó, C(1; 2)

c)

Ta có:

\[\overrightarrow {AB} = \left( {4;0} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB = 4\] (cm)

\[\overrightarrow {AC} = \left( {2;2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = 2\sqrt 2 \] (cm)

\[\overrightarrow {BC} = \left( { - 2;2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = 2\sqrt 2 \] (cm)

Chu vi tam giác ABC là: C = AB + AC + BC = \(4 + 4\sqrt 2 \) (cm)

d)

Góc tạo bởi y = x + 1 với Ox chính là góc \(\widehat {CAB}\)

Xét tam giác ABC

Ta có:

\(\begin{array}{l}C{B^2} = C{A^2} + A{B^2} - 2CA.AB.\cos \widehat {CAB}\\ \Rightarrow \cos \widehat {CAB} = \frac{{C{A^2} + A{B^2} - C{B^2}}}{{2CA.AB}} = \frac{{{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} + {4^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}}{{2.2\sqrt 2 .4}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \widehat {CAB} = 45^\circ \end{array}\)

Gọi số ngày tổ 1 làm một mình hết công việc là: x (giờ); số ngày tổ 2 làm một mình hết công việc là: y (giờ)

(x, y > 0)

Một ngày một mình tổ 1 làm được: \(\frac{1}{x}\) (công việc)

Một ngày một mình tổ 2 làm được: \(\frac{1}{y}\) (công việc)

Vì cả hai tổ làm chung thì 15 giờ xong nên ta có phương trình:

\(15.\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 \Rightarrow \frac{{15}}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\) (công việc)

Vì tổ 1 làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc nên ta có phương trình:

\(\frac{5}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{10}}\) (công việc)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{15}}{x} + \frac{{15}}{y} = 1\\\frac{5}{x} + \frac{3}{y} = \frac{3}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 60\end{array} \right.\)

Vậy đội 1 làm một mình thì sau 20 giờ sẽ xong việc; đội 2 làm một mình thì sau 60 giờ sẽ xong công việc.