5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 15)

Lời giải

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Suy ra \(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {M{\rm{D}}C}\) (Hai góc so le trong) và AB = CD, AD = BC     (1)

Vì DM là tia phân giác của góc ADC ⇒ \(\widehat {ADM} = \widehat {MDC} = \frac{1}{2}\widehat {CDA}\)

Suy ra \(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {M{\rm{DA}}}\)

Do đó tam giác ADM cân tại A

Suy ra AM = AD (tính chất)                           (2)

Vì BN là tia phân giác của góc ABC ⇒ \(\widehat {ABN} = \widehat {NBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD nên \(\widehat {ABN} = \widehat {BNC}\) (Hai góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {CBN} = \widehat {BNC}\)

Do đó tam giác BCN cân tại C

Suy ra CN = CB (tính chất)                  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = CN           

Vậy AM = CN           

b) Ta có:

AB = AM + MB

CD = CN + ND

Mà AB = CD, AM = CN (chứng minh câu a)

Suy ra MB = ND

Tứ giác DMBN có:

MB = ND (chứng minh trên)

MB // ND (vì AB // CD)

Suy ra DMBN là hình bình hành

Vậy DMBN là hình bình hành.

Lời giải

a) Ta có:

ABCD là hình bình hành ⇒ AB // CD ⇒ \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{F_1}}\) (Hai góc so le trong) (1)

Vì DE là tia phân giác của góc D ⇒ \(\widehat {{D_1}} = \frac{1}{2}\widehat D\)

Vì BF là tia phân giác của góc B ⇒ \(\widehat {{B_1}} = \frac{1}{2}\widehat B\)

Mà \(\widehat B = \widehat D\) ( Do ABCD là hình bình hành)

⇒ \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{D_1}}\)                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{F_1}}\left( { = \widehat {{B_1}}} \right)\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị ⇒ DE // BF (đpcm)

Vậy DE // BF

b) Tứ giác DEBF có:

DE // BF (chứng minh ở câu a)

BE // DF (vì AB // CD)

⇒ DEBF là hình bình hành

Vậy DEBF là hình bình hành.

Lời giải

Điều kiện xác định: x ≥ 3, y ≥ 2021

Ta có:

 \[{\rm{A}} = x + y - \sqrt {x - 3} .\sqrt {y - 2021} \]

\[{\rm{A}} = (x - 3) - 2.\sqrt {x - 3} .\frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} + \frac{1}{4}(y - 2021) + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024\]

\[{\rm{A}} = {(\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} )^2} + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024\]

Vì \({\left( {\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} } \right)^2} \ge 0\), \(\frac{3}{4}(y - 2021) \ge 0\)

Nên \[{(\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} )^2} + \frac{3}{4}(y - 2021) + 2024 \ge 2024\]

Hay A ≥ 2024

Dấu “ =” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}y - 2021 = 0\\\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} = 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2021\\\sqrt {x - 3} - \frac{1}{2}\sqrt {y - 2021} = 0\end{array} \right.\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}y = 2021\\x = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn)

Vậy biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2024 khi x = 3, y = 2021.

Lời giải

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD

Suy ra \(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {M{\rm{D}}C}\) (Hai góc so le trong) và AB = CD, AD = BC     (1)

Vì DM là tia phân giác của góc ADC ⇒ \(\widehat {ADM} = \widehat {MDC} = \frac{1}{2}\widehat {CDA}\)

Suy ra \(\widehat {AM{\rm{D}}} = \widehat {M{\rm{DA}}}\)

Do đó tam giác ADM cân tại A

Suy ra AM = AD (tính chất)                           (2)

Vì BN là tia phân giác của góc ABC ⇒ \(\widehat {ABN} = \widehat {NBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD nên \(\widehat {ABN} = \widehat {BNC}\) (Hai góc so le trong)

Suy ra \(\widehat {CBN} = \widehat {BNC}\)

Do đó tam giác BCN cân tại C

Suy ra CN = CB (tính chất)                  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = CN           

Vậy AM = CN           

b) Ta có:

AB = AM + MB

CD = CN + ND

Mà AB = CD, AM = CN (chứng minh câu a)

Suy ra MB = ND

Tứ giác DMBN có:

MB = ND (chứng minh trên)

MB // ND (vì AB // CD)

Suy ra DMBN là hình bình hành

Vậy DMBN là hình bình hành.

c) Vì DMBN là hình bình hành nên DM // BN, DM = BN

Ta có DM // BN, NK ⊥ DM

Nên NK ⊥ BN (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra \(\widehat {KNH} = 90^\circ \)

Vì DM // BN, MH ⊥ BN

Nên DM ⊥ MH (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Suy ra \(\widehat {HMK} = 90^\circ \)

Vì H,K lần lượt là hình chiếu M và N trên BN và DM

Nên \(\widehat {MKN} = 90^\circ ,\widehat {MHN} = 90^\circ \)

Xét tứ giác MHNK có

\(\widehat {MKN} = 90^\circ ,\widehat {MHN} = 90^\circ \), \(\widehat {KNH} = 90^\circ \), \(\widehat {HMK} = 90^\circ \) (chứng minh trên)

Suy ra MHNK là hình chữ nhật

Vậy MHNK là hình chữ nhật.

d)Vì ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Gọi O là trung điểm của AC                (*)

Suy ra O là trung điểm của BD

Vì DMBN là hình bình hành nên MN và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của BD

Suy ra O là trung điểm của MN           (**)

Vì MHNK là hình chữ nhật nên MN và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của MN

Suy ra O là trung điểm của HK            (***)

Từ (*), (**) và (***) suy ra ba đường thẳng AC, MN, KH đồng quy tại điểm O