5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 35)

Ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {IC} = 2\overrightarrow {IJ} + \left( {\overrightarrow {AI} + \overrightarrow {BI} } \right) + \left( {\overrightarrow {JD} + \overrightarrow {JC} } \right) = 2\overrightarrow {IJ} \).

cos3x + cosx – cos2x = 0 \( \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x - \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos 2x\left( {2\cos x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 0}\\{2\cos 2x - 1 = 0}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\\{\cos 2x = \cos \frac{\pi }{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}}\\{x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}} \right.\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

cos3x.cosx = cos2x \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 1 - \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 1}\\{\cos 2x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với cos2x = 1 \( \Rightarrow x = k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với cos2x = \( - \frac{1}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

cos3x.cosx = cos2x \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \cos 2x\)

\( \Leftrightarrow \cos 4x = \cos 2x \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 1 - \cos 2x = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos 2x = 1}\\{\cos 2x = - \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\)

Với cos2x = 1 \( \Rightarrow x = k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với cos2x = \( - \frac{1}{2} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{3} + k\pi }\\{x = - \frac{\pi }{3} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Ta có: \({\left( {a - b - c} \right)^3}\)

\[ = {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^3}\]

\( = {\left( {a - b} \right)^3} - 3{\left( {a - b} \right)^2}c + 3\left( {a - b} \right){c^2} - {c^3}\)

\( = {a^3} - 3{a^2}b + 3a{b^2} - {b^3} - 3c\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + 3a{c^2} - 3b{c^2} - {c^3}\)

\( = {a^3} - {b^3} - {c^3} - 3ab\left( {a - b} \right) - 3ac\left( {a - c} \right) - 3bc\left( {b + c} \right) + 6abc\).

Hệ phương trình đã cho tương đương với:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{x^2} + xy} \right)}^2} = 2x + 9}\\{xy = 3x + 3 - \frac{{{x^2}}}{2}}\end{array}} \right. \Rightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 3 - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)^2} = 2x + 9\)

\( \Leftrightarrow {x^4} + 12{x^3} + 48{x^2} + 64x = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x + 4} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 4}\end{array}} \right.\)

+) x = 0 không thỏa mãn hệ phương trình.

+) x = –4 \( \Rightarrow y = \frac{{17}}{4}\)

Nghiệm của hệ phương trình là \(\left( {x;y} \right) = \left( { - 4;\frac{{17}}{4}} \right)\).

Giả sử hình vuông ABCD độ dài cạnh 2, đường chéo AC chia hình vuông thành 2 tam giác ABC và ACD. Áp dụng định lí Pytago cho tam giác vuông ABC:

\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}\)

Hay \(A{C^2} = {2^2} + {a^2} = {2.2^2} \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)

Vậy đường chéo hình vuông có độ dài cạnh a là 2\(\sqrt 2 \).

Gọi x là phần tử bất kì thuộc tập A

\(x \in A \Rightarrow x \in A \cup B.\) Mà \(A \cup B = A \cap B\) nên x \( \in A \cap B \Rightarrow x \in B\)

A là tập con của B(1)

Gọi y là phần tử bất kì thuộc tập B.

\( \Rightarrow y \in A \cup B.\) Mà \(A \cup B = A \cap B\) nên y \( \in A \cap B \Rightarrow y \in A\)

\( \Rightarrow B\) là tập con của A(2)

Từ (1) và (2) ⇒ A = B (đpcm).