5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 74)

Ta có: y = 2x – 1 (1)

y’ = –x + m (2)

Để (1) và (2) cắt nhau tại một điểm thì y = y’

Û 2x – 1 = –x + m

Û 3x = m + 1

Mà hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 2 nên:

m + 1 = 3. 2

Û m = 5

Vậy giá trị m thỏa mãn là m = 5.

Ta có: y = x – 5m (1)

y’ = 3x – m² (2)

Để (1) và (2) cắt nhau tại một điểm thì y = y’

Û x – 5m = 3x – m²

Û m² – 5m = 2x

Mà hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng –3 nên:

m² – 5m = 2. (–3)

Û m² – 5m + 6 = 0

Û m² – 2m – 3m + 6 = 0

Û m(m – 2) – 3(m – 2) = 0

Û (m – 2)(m – 3) = 0

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 2 = 0}\\{m - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m = 3}\end{array}} \right.\]

Vậy giá trị m thỏa mãn là m = 2 hoặc m = 3.

Để đường thẳng (d) cắt đường thẳng (d’) thì 2k – 1 ¹ 2 hay \[k \ne \frac{3}{2}\].

Thay x = –2 vào hàm số y = 2x + 1

Û y = 2. (–2) + 1 = –3

Gọi A(–2; –3).

Do đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau tại A nên:

–3 = (2k – 1)( –2) + 3 – k

Û –4k + 2 + 3 – k + 3 = 0

Û –5k + 8 = 0

\[ \Leftrightarrow k = \frac{{ - 8}}{5}\] (TMĐK)

Vậy giá trị k thỏa mãn là \[k = \frac{{ - 8}}{5}\].

Để đường thẳng (d) // (m) thì:

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2k - 1 = 0,5}\\{3 - k \ne - 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{k = \frac{3}{4}\,\,\,(tm)}\\{k \ne 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\]

Vậy giá trị k thỏa mãn là \[k = \frac{3}{4}\].

Xét ΔBHE và ΔCAB có:

\[\widehat {BHE} = \widehat {BAC} = 90^\circ \]

\[\widehat {HBE} = \widehat {BCA}\] (vì cùng phụ với \[\widehat {ABC}\])

Do đó ΔBHE ᔕ ΔCAB (g.g)

Suy ra \[\frac{{BH}}{{BE}} = \frac{{AC}}{{BC}}\]

Hay BH. BC = BE. AC = AB. AC (vì BE = AB) (1)

Tương tự ΔCKF ᔕ ΔBAC (g.g)

\[ \Rightarrow \frac{{CK}}{{CF}} = \frac{{BA}}{{BC}}\] hay CK. BC = CF. AB = AB. AC (vì CF = AC) (2)

Từ (1) và (2) suy ra BH. BC = CK. BC hay BH = CK.

Vậy BH = CK.

Đáp án đúng là \[A.\,\,\overrightarrow a = ( - 5;0),\,\,\overrightarrow b = ( - 4;0)\] cùng hướng

Ta có: \[\,\overrightarrow a = ( - 5;0),\,\,\overrightarrow b = ( - 4;0)\]

\[ \Rightarrow \,\overrightarrow a = \,\frac{4}{5}\,\overrightarrow b \].

Do đó, \[\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b \] cùng hướng.

Đáp án đúng là \[C.\,\,\,\overrightarrow u - \,\overrightarrow v \] và \[\overrightarrow b = (6; - 24)\] cùng hướng.

Ta có: \[\overrightarrow u - \,\overrightarrow v = (2; - 8)\]

\[\overrightarrow b = (6; - 24) = 3(2; - 8) = 3\left( {\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right)\].

Do đó \[\overrightarrow u - \,\overrightarrow v ,\,\,\overrightarrow b \] cùng hướng.

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Đặt a = AB, b = OB, c = OA

Ta có: \[a.\overrightarrow {IO} + b.\overrightarrow {IA} + c.\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \]

• \[OA = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} = 3\]

• \[OB = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3}} \right)}^2}} = 4\]

• \[AB = \sqrt {{{\left( {\frac{{ - 8}}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3} - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)}^2}} = 5\]

Do đó \[5.\overrightarrow {IO} + 4.\overrightarrow {IA} + 3.\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{{ - 8}}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 0}\\{{y_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{4}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 1}\\{{z_I} = \frac{{5.0 + 4.2 + 3.\frac{8}{3}}}{{3 + 4 + 5}} = 1}\end{array}} \right.\]

Do đó tâm I(0; 1; 1)

Gọi \[\overrightarrow n \] là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB). Khi đó:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right] = (4; - 8;8) = 4(1; - 2;2)\]

Gọi (∆) là đường thẳng qua I và vuông góc với mặt phẳng (OAB).

Þ Vecto chỉ phương của (∆) là: \[\overrightarrow u = (1; - 2;2)\].

Phương trình chính tắc của (∆) là: \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{2}\].

Vậy phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là \[\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{2}\].