5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 83)

\[P = 5x + 3y + \frac{{12}}{x} + \frac{{16}}{y}\]

\( = 3x + \frac{{12}}{x} + y + \frac{{16}}{y} + 2\left( {x + y} \right)\)

Áp dụng Cô-si, ta có:

\(3x + \frac{{12}}{x} \ge 2\sqrt {3x.\frac{{12}}{x}} = 2.6 = 12\)

\(y + \frac{{16}}{y} \ge 2\sqrt {y.\frac{{16}}{y}} = 8\)

Lại có 2(x + y) ≥ 12

Nên P ≥ 12 + 8 + 12 = 32

Dấu “=” xảy ra khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}3x = \frac{{12}}{x}\\y = \frac{{16}}{y}\\x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\).

Vậy P_min = 32 khi x = 2 và y = 4.

a) (x + 2)(x – 4) ≥ 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\x - 4 \le 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \le 0\\x - 4 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge - 2\\x \le 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ −2 ≤ x ≤ 4

Vì x ∈ ℤ nên x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}.

b) \(\frac{{2x + 3}}{{x + 4}} < 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2x + 3}}{{x + 4}} - 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{2x + 3 - x - 4}}{{x + 4}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{{x - 1}}{{x + 4}} < 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x + 4 < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 < 0\\x + 4 > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 4\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x > - 4\end{array} \right.\end{array} \right.\)

⇔ −4 < x < 1

Vì x ∈ ℤ nên x ∈ {−3; −2; −1; 0}

Gọi G là trọng tâm ∆ABC nên \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)

Ta có: \(VT = \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \)

\( = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} - 2\overrightarrow {MB} \)

\( = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} - 2\overrightarrow {MB} \)

\( = 3\overrightarrow {MG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) - 2\overrightarrow {MB} \)

\( = 3\overrightarrow {MG} - 2\overrightarrow {MB} \)

\( = \overrightarrow {MG} + 2\overrightarrow {MG} - 2\overrightarrow {MB} \)

\( = \overrightarrow {MG} - 2\overrightarrow {GM} - 2\overrightarrow {MB} \)

\( = \overrightarrow {MG} - 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} } \right)\)

\( = \overrightarrow {MG} - 2\overrightarrow {GB} = VP = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MG} = 2\overrightarrow {GB} \)

Hay \(\overrightarrow {GM} = 2\overrightarrow {GB} \)

Trên đường thẳng BG lấy điểm M sao cho GM = 2BG thì điểm M sẽ thỏa mãn đề bài.

\(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right) - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CM} \)

Hay M là đỉnh của hình bình hành ABCM.

Tốc độ trung bình của xe trong toàn bộ khoảng thời gian chuyển động là:

\({v_{tb}} = \frac{{{s_1} + {s_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \frac{{{v_1}{t_1} + {v_2}{t_2}}}{{{t_1} + {t_2}}} = \frac{{1.60 + 1,5.40}}{{2,5}} = 48\) (km/h)

Đáp số: 48 km/h.

Đáp án đúng là: A

Quãng đường xe đi được trong 2 giờ đầu là: s₁ = 60.2 = 120 (km)

Quãng đường xe đi được trong 3 giờ sau là: s₂ = 40.3 = 120 (km)

Tốc độ trung bình của xe là: v = 240 : 5 = 48 (km/h)

Đáp số: 48 km/h.

a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khi và chỉ khi:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{m^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\{m^2} - {m^2} + 1 > 0\end{array} \right.\)

⇔ m ≠ 1

Vậy với m ≠ 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Áp dụng định lí Vi-ét, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m + 1}}{{m - 1}}\end{array} \right.\) (*)

Ta có: x₁² + x₂² – x₁x₂ = 3

⇔ (x₁ + x₂)² – 3x₁x₂ = 3

Thay (*) vào ta có:

\({\left( {\frac{{2m}}{{m - 1}}} \right)^2} - 3.\frac{{m + 1}}{{m - 1}} = 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{{4{m^2}}}{{{{\left( {m - 1} \right)}^2}}} - \frac{{3m + 3}}{{m - 1}} = 3\)

⇔ 4m² – (3m + 3)(m – 1) = 3(m – 1)²

⇔ 4m² – 3(m² – 1) = 3(m² – 2m + 1)

⇔ 4m² – 3m² + 3 = 3m² – 6m + 3

⇔ 2m² – 6m = 0

⇔ 2m(m – 3) = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 3\end{array} \right.\) (thỏa mãn m ≠ 1)

Vậy với m = 0 hoặc m = 3 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

TH1: m = 1 khi đó (*) trở thành:

2x – 3 > 0 ⇔ \(x > \frac{3}{2}\) (loại)

TH2: m ≠ 1 ta có:

Xét ∆’ = m² – (m – 1)(−3)

= m² + 3m + 3

Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\{m^2} + 3m + 3 < 0\forall m \in \mathbb{R}\end{array} \right.\)

⇔ m < 1

Vậy với m < 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.